Cet article concerne la forme géométrique. Pour les autres significations, voir Lentille.
En géométrie euclidienne, une lentille est un ensemble convexe borné par deux arcs de cercle qui se rejoignent à leurs extrémités. Afin que cette forme soit convexe, les deux arcs doivent avoir des courbures inverses (convexe-convexe). Elle peut être vue comme l'intersection de deux disques, ou l'union de deux segments circulaires (régions entre la corde d'un cercle et le cercle lui-même), joint par une corde commune.
Types
Si les deux arcs ont même rayon, on parle de lentille symétrique, sinon, de lentille asymétrique.
Le vesica piscis est une forme particulière de lentille symétrique, formé par deux arcs de cercle dont le centre d'un arc est sur l'arc opposé. Ils forment donc un angle de 120° à leurs extrémités.
Aire
Cas symétrique
L'aire d'une lentille symétrique s'exprime en fonction du rayon R et des longueurs d'arc θ en radians :
Cette aire est en effet le double de celle d'un segment circulaire d'angle .
La distance entre les centres des disques est , ce qui donne
Pour le vesica picis, , donc , et , voir la suite A093731 de l'OEIS.
Cas asymétrique
L'aire d'une lentille asymétrique s'exprime en fonction des rayons R et r et de la distance entre les centres d[1]:
avec
où on reconnait la formule de Héron pour l'aire d'un triangle appliquée à un triangle de côtés d, R et r.
Démonstration
Avec les notations de la figure ci-contre, l'aire de la lentille est égale à l'aire du secteur OAB moins celle du triangle OAB plus l'aire du secteur oAB moins celle du triangle oAB, ce qui revient à la somme des aires des deux secteurs moins deux fois l'aire du triangle OAo, formé par les deux centres et une extrémité de la lentille, de côtés d, R et r.
Elle vaut donc
Les angles et s'obtiennent pas la loi des cosinus dans le triangle OAo : , d'où la formule énoncée.
Applications
Le problème de Mrs. Miniver(en), demande la forme d'une lentille symétrique de sorte que son aire soit égale à celle de la différence symétrique des deux disques.
D'après la formule ci-dessus, la longueur d'arc de cette lentille vérifie , soit °, voir la suite A336082 de l'OEIS.
Les lentilles sont utilisées pour définir les bêta squelettes(en), des graphes géométriques définis sur un ensemble de points en connectant des paires de points par un segment partout où une lentille déterminée par deux points est vide.
Voir aussi
La lunule, forme non convexe formée par deux arcs circulaires, avec des courbures dans le même sens
Le problème de la chèvre, dans le cas où l'un des deux cercles est centré sur la circonférence de l'autre.