Segment circulaire

Un segment circulaire est coloré en vert.

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Soient (voir figure) :

• ${\displaystyle R}$ le rayon du cercle ;
• ${\displaystyle \theta }$ l'angle en radians du secteur circulaire ;
• ${\displaystyle s}$ la longueur de l'arc ;
• ${\displaystyle c}$ la longueur de la corde ;
• ${\displaystyle h}$ la hauteur du segment ;
• ${\displaystyle d}$ la hauteur de la portion triangulaire.

Alors :

• la longueur de l'arc est ${\displaystyle s=R\theta }$ ;
• la longueur de la corde est ${\displaystyle c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}}$  ;
• la hauteur de la portion triangulaire est ${\displaystyle d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}}$ ;
• la hauteur (ou flèche) est ${\displaystyle h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)}$ ;
• l'aire est ${\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$.

Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque vaut ${\displaystyle S={\frac {\theta }{2}}R^{2}}$. Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, ${\displaystyle A}$, du segment circulaire (en vert) et celle, ${\displaystyle A_{1}}$, du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

${\displaystyle A=S-A_{1}}$.

L'aire du triangle vaut :

${\displaystyle A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }}$,

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : ${\displaystyle A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })}$.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Circular Segment », sur MathWorld