Formule d'Auslander-Buchsbaum

La formule d'Auslander-Buchsbaum est une formule d'algèbre commutative énoncée par Auslander et Buchsbaum[1] en 1957.

Énoncé

La formule d'Auslander-Buchsbaum dit que si R est un anneau noethérien local commutatif et M est un R-module de finiment engendré non nul de dimension projective finie, alors :

pd${\displaystyle _{R}(M)+}$ depth${\displaystyle (M)=}$ depth${\displaystyle (R)}$.

Ici, « pd » représente la dimension projective d'un module et « depth » la profondeur d'un module.

Applications

La formule d'Auslander-Buchsbaum implique qu'un anneau local noethérien est régulier si et seulement s'il a une dimension globale finie. Cela implique à son tour que la localisation d'un anneau local régulier est régulière.

Si A est une R-algèbre locale de type fini (sur un anneau local régulier R), alors la formule d'Auslander-Buchsbaum implique que A est Cohen-Macaulay si, et seulement si, pd${\displaystyle _{R}(A)=}$ codim${\displaystyle _{R}(A)}$.

Bibliographie

• Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Homological dimension in local rings », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 85,‎ 1957, p. 390–405 (ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1992937 , JSTOR 1992937, MR 0086822)

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 150), 1995, xvi + 785 (zbMATH 0819.13001),  Chapitre 19.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Buchsbaum formula » (voir la liste des auteurs).

1. Auslander et Buchsbaum 1957, théorème 3.7.