Les premières valeurs de la fonction tau sont données dans le tableau suivant (suite A000594 de l'OEIS) :
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
τ(n)
1
−24
252
−1472
4830
−6048
−16744
84480
−113643
−115920
534612
−370944
−577738
401856
1217160
987136
Les conjectures de Ramanujan
Ramanujan (1916) a remarqué, sans le démontrer, les propriétés suivantes sur τ(n):
τ(mn) = τ(m)τ(n) si pgcd(m,n) = 1 (ce qui signifie que τ(n) est multiplicative)
τ(pr + 1) = τ(p)τ(pr) − p11τ(pr − 1) pour p premier et r > 0.
|τ(p)| ≤ 2p11/2 pour tout premier p.
Les deux premières propriétés ont été prouvées par Mordell (1917) et la troisième, appelée la conjecture de Ramanujan, a été prouvée par Deligne en 1974 à la suite de sa preuve des conjectures de Weil (plus précisément, il l'a déduite en les appliquant à une variété de Kuga-Sato).
Congruences pour la fonction tau
Pour k ∈ et n ∈ >0, définissons σk(n) comme la somme des k ièmes puissances des diviseurs de n. La fonction tau satisfait plusieurs relations de congruence ; beaucoup d'entre elles peuvent être exprimées en termes de σk(n). En voici quelques-unes[1] :
Supposons que f soit une nouvelle forme(en) entière de poids k telle que ses coefficients de Fourier a(n) soient entiers. Soit le problème :
Étant donné que f n'a pas de multiplication complexe, est-ce que pour presque tous nombres premiers p, on a a(p) ≢ 0 (mod p) ?
En effet, la plupart des nombres premiers devraient avoir cette propriété, et sont par conséquent dits ordinaires. Malgré les grandes avancées de Deligne et Serre sur les représentations galoisiennes, qui déterminent a(n) (mod p) pour n premier à p, on ne sait pas comment calculer a(p) (mod p). Le seul théorème à cet égard est le célèbre résultat d'Elkies pour les courbes elliptiques modulaires, qui garantit qu'il existe une infinité de nombres premiers p tels que a(p) = 0, qui sont donc congrus à 0 modulo p. Il n'existe pas d'exemples connus de f sans multiplication complexe de poids supérieur à 2 pour lequel a(p) ≢ 0 (mod p) pour une infinité de nombres premiers p (bien que cela devrait être vrai pour presque tout p). Il n'y a pas non plus d'exemples connus avec a(p) ≡ 0 (mod p) pour une infinité de p. Certains chercheurs avaient commencé à douter que a(p) ≡ 0 (mod p) pour une infinité de p. Les seules solutions jusqu'à 1010 de l'équation τ(p) ≡ 0 (mod p) sont 2, 3, 5, 7, 2411 et 7 758 337 633 suite A007659 de l'OEIS[9].
Lehmer (1947) a conjecturé que τ(n) ≠ 0 pour tout n. Lehmer a vérifié sa conjecture jusqu'à 214 928 639 999 (Apostol 1997, p. 22). Le tableau suivant récapitule l'avancée de la borne supérieure n ≤ N connue.