Fonction d'Euler

Module de ${\displaystyle \phi }$ dans le plan complexe, coloré de sorte que noir = 0, rouge = 4.

En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}).}$

Portant le nom de Leonhard Euler, elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire fournissant un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de ${\displaystyle \phi }$ comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer : ${\displaystyle \phi (q):=(q,q)_{\infty }.}$

Propriétés

Le coefficient ${\displaystyle p(k)}$ dans le développement en série formelle de ${\displaystyle 1/\phi (q)}$ est le nombre de partitions de l'entier ${\displaystyle k}$. Formellement,

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$.

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}.}$

Dans cette somme, les nombres ${\displaystyle n(3n-1)/2}$ sont les nombres pentagonaux.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe ${\displaystyle \tau }$ de partie imaginaire positive, on définit ${\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }}$ (c'est le carré du nome (en)), et la fonction êta est définie par

${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=q^{1/24}\phi (q)}$.

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }}$

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

qui est une série de Lambert avec coefficients ${\displaystyle -1/n}$. Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}\quad }$ avec ${\displaystyle \displaystyle \quad b_{m}=-\sum _{n|m}{\frac {1}{n}}}$.

La suite des ${\displaystyle -b_{m}}$ est la suite A000203 de l'OEIS.

Références

• (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », 1976, 340 p. (ISBN 0-387-90163-9, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler function » (voir la liste des auteurs).