La fonction omega de Wright le long de l'axe réel. En mathématiques , la fonction omega de Wright ou fonction de Wright [ note 1] ω , est définie à partir de la fonction W de Lambert par :
ω
(
z
)
=
W
⌈
I
m
(
z
)
−
π
2
π
⌉
(
e
z
)
.
{\displaystyle \omega (z)=W_{\left\lceil {\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}\right\rceil }(\mathrm {e} ^{z}).}
Utilisation
Une des principales applications de cette fonction est dans la résolution de l'équation z = ln(z )z = e−i π ω
La valeur y = ω(z )
z
≠
x
±
i
π
{\displaystyle z\neq x\pm i\pi }
x ≤ −1y + ln(y ) = z continue , et même analytique .
La fonction omega de Wright satisfait la relation Wk (z ) = ω(ln(z ) + 2 π i k )
Elle vérifie aussi l'équation différentielle
d
ω
d
z
=
ω
1
+
ω
{\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}
partout où ω est analytique (ce qui peut se voir avec une séparation de variables et en utilisant l'équation ω + ln(ω) = z ), et par conséquent sa primitive peut s'écrire :
∫
w
n
d
z
=
{
ω
n
+
1
−
1
n
+
1
+
ω
n
n
si
n
≠
−
1
,
ln
(
ω
)
−
1
ω
si
n
=
−
1.
{\displaystyle \int w^{n}\,\mathrm {d} z={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{ si }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{ si }}n=-1.\end{cases}}}
Sa série de Taylor autour du point ωa a a prend la forme :
ω
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
q
n
(
ω
a
)
(
1
+
ω
a
)
2
n
−
1
(
z
−
a
)
n
n
!
{\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}}
avec
q
n
(
w
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
⟨
⟨
n
+
1
k
⟩
⟩
(
−
1
)
k
w
k
+
1
{\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle (-1)^{k}w^{k+1}}
avec
⟨
⟨
n
k
⟩
⟩
{\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}
désignant les nombres eulériens seconde espèce .
ω
(
0
)
=
W
0
(
1
)
≈
0
,
56714
ω
(
1
)
=
1
ω
(
−
1
±
i
π
)
=
−
1
ω
(
−
1
3
+
ln
(
1
3
)
+
i
π
)
=
−
1
3
ω
(
−
1
3
+
ln
(
1
3
)
−
i
π
)
=
W
−
1
(
−
1
3
e
−
1
3
)
≈
−
2
,
237147028
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0,56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm \mathrm {i} \pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+\mathrm {i} \pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-\mathrm {i} \pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2,237147028\\\end{array}}}
Tracés de la fonction omega de Wright sur le plan complexe
z = Re(ω (x + i y ))
z = Im(ω (x + i y ))
ω (x + i y )
Notes
