Espace de Schwartz

Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide.

En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$ de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$ jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Définition

Une fonction f fait partie de l'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ sont dites déclinantes.

Pour deux multi-indices ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$, on définit les semi-normes ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$ par

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\|x^{\alpha }D^{\beta }f\|_{\infty }}$

où ${\displaystyle D^{\beta }f}$ est la dérivée d'ordre ${\displaystyle \beta }$ de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})\mid \forall (\alpha ,\beta )\ \|f\|_{\alpha ,\beta }<+\infty \}}$.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Propriétés

Topologie

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes ${\displaystyle (\|.\|_{\alpha ,\beta })_{\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}}$, équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{p})_{p\in \mathbb {N} }}$ définie par :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}(.)=\sum _{|\alpha |,|\beta |\leq p}\|.\|_{\alpha ,\beta },\,p\in \mathbb {N} .}$

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions ${\displaystyle (\phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ vers une fonction ${\displaystyle \phi }$ si ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ et si

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad \lim _{n\to \infty }{\mathcal {N}}_{p}(\phi _{n}-\phi )=0.}$

Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$.

Exemples

• L'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ contient l'espace ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ des fonctions C^∞ à support compact. Cet espace, aussi noté ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$, est dense dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
• Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :

${\displaystyle x\mapsto x^{\alpha }e^{-a\|x\|^{2}}\in {\mathcal {S}}}$ pour tout multi-indice α et tout réel ${\displaystyle a>0}$.

• L'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est un sous-espace vectoriel des différents espaces L^p pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L^∞. En effet, le complété de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ pour la norme ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{\infty }}$ est l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(\mathbb {R} )}$ des fonctions continues nulles à l'infini.

Opérations sur l'espace de Schwartz

• L'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
• L'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N}).}$ En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})}$, l'opérateur défini par ${\displaystyle \phi \mapsto f\phi }$ est continu de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ dans lui-même.

Multiplicateurs de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ :

On définit l'espace ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})}$ des multiplicateurs de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ comme le sous-ensemble des fonctions de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$ dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.

${\displaystyle \forall \alpha \in (\mathbb {N} ^{N})\quad \exists C_{\alpha }>0,\exists N_{\alpha }\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} ^{N}\quad |(\partial ^{\alpha }f)(x)|\leq C_{\alpha }(1+|x|)^{N_{\alpha }}.}$

On appelle ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})}$ l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.

• La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Cet automorphisme ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est donné par${\displaystyle \left({\mathcal {F}}f\right)\left(\xi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(x){\rm {e}}^{-2{\rm {i}}\pi \xi x}{\rm {d}}x}$où ${\displaystyle \xi x=\sum _{k=1}^{N}\xi _{k}x_{k}.}$ L'automorphisme inverse est ${\displaystyle {\mathcal {\bar {F}}},}$ donné par${\displaystyle \left({\mathcal {\bar {F}}}f\right)\left(\xi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(x){\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \xi x}{\rm {d}}x.}$Le théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ de la structure préhilbertienne induite par ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{N})\supset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),}$ la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ dans lui-même.
• La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ : pour toute distribution à support compact ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ et fonction de Schwartz ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),}$ on a

${\displaystyle T\ast \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}).}$

• Plus généralement, on note ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})}$ l'ensemble des convoleurs de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),}$ c'est-à-dire l'ensemble des distributions ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ telles que ${\displaystyle g\mapsto g\ast T}$ envoie continûment ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}).}$ Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})}$ l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})}$ est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ et ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ sont des modules unitaires.

Bibliographie

• (en) Harish-Chandra, « Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters », Acta Math., vol. 116,‎ 1966, p. 1-111
• Laurent Schwartz, « Théorie des distributions et transformation de Fourier », Annales de l'université de Grenoble, vol. 23,‎ 1947-1948, p. 7-24 (lire en ligne)
• Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1966, 418 p. (ISBN 2-7056-5551-4)
• François Golse, Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles, École polytechnique, 2012, polycopié de cours

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Function », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Space », sur MathWorld