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Damián Alcázar a d'abord étudié le métier d'acteur à l'Institut National des Beaux-Arts de Mexico, et dans le Centre d'Expérimentation Théâtrale, et a après continué dans la Faculté de Théâtre de l'Université de Veracruz, où il enseignera quelques années plus tard.
Il est apparu dans six films étrangers et dans plus de vingt-huit films mexicains. Il reçut le prix Ariel du meilleur acteur en 1999 et en 2004, par les rubans Basse-Californie : La limite du temps, de Carlos Bolado, et en des Investigations, de Sebastián Cordero. Il a gagné aussi le prix du meilleur acteur au Festival de Valladolid (en Espagne), pour ce dernier.
Il a reçu l'Ariel du Meilleur Acteur de Distribution paou L'hameçon, d'Ernesto Rimoch; pour Lolo, de Francisco Athié, et par le succès de Carlos Carrera, Le Crime du père Amaro. Il a été nommé pour recevoir cette même prix dans d'autres quatre occasions.
Il a obtenu le prix du meilleur acteur au Festival de Carthagène (en Colombie) pour le film Deux crimes, de Roberto Sneider.
En 2016, il a été nommé aux Prix Platine pour son rôle dans le film péruvien Magellanes, et en 2017 pour La Delgada L.nea Amarilla.
En , il a reçu un hommage à Guanajuato, où il a reçu la Croix d'Argent, durant le Festival International du Cinéma Guanajuato (GIFF), et a à son tour été honoré avec la Médaille d'Argent de la Cinémathèque de la UNAM.
Par ailleurs, en 2019, il participe en donnant sa voix de narrateur au podcast Fausto, réalisé par Spotify au Mexique. La série contient huit chapitres et reconstitue l'histoire vraie du crime d'une famille en décembre de 1991, arrivé dans la commune de Ecatepec, dans l'état de Mexico.