Décomposition orthogonale aux valeurs propres

En statistique et traitement du signal, la méthode décomposition orthogonale aux valeurs propres consiste à décomposer des données avec des fonctions orthogonales déterminées à partir des données (en anglais : empirical orthogonal functions, abrégé en EOF). C'est la même chose que de faire une analyse en composante principale excepté que les EOF permettent d'obtenir à la fois des formes (patterns) temporelles et spatiales. Les EOF sont aussi appelés PCA en géophysique. Pour faire simple : les EOF permettent de synthétiser l'information pour faciliter l'analyse.

Principe

Le principe des EOF est de trouver des fonctions orthogonales (empiriquement) qui caractérisent la covariabilité de séries temporelles pour une grille spatiale donnée. La première EOF est trouvée en calculant une carte de régression/corrélation en prenant les plus fortes amplitudes, ensuite on soustrait la variabilité lié à cette EOF n^o 1 et on répète le calcul de cartes de régression/corrélation pour trouver chaque EOF jusqu'à ce que le pourcentage de variabilité expliqué souhaité soit atteint.

La i^e fonction orthogonale est choisie pour être orthogonale aux i-1^es, et pour minimiser la variance résiduelle. Les fonctions orthogonales[1] sont différentes les unes des autres pour expliquer le maximum de variance. La méthode est proche du krigeage en géostatistique et des modèles gaussiens.

L'esprit de la méthode des EOF est similaire aux analyses harmoniques, mais les analyses harmoniques utilisent des fonctions orthogonales prédéterminés, par exemple cosinus et sinus à des fréquences fixées. Dans certains cas, les deux méthodes donnent le même résultat.

Les fonctions orthogonales sont trouvées en calculant les vecteurs propres de la matrice de covariance du jeu de données.

Exemple d'application

En climatologie, les EOF sont beaucoup utilisées pour analyser des données et essayer de trouver des fréquences temporelles expliquant un large pourcentage de la variabilité d'un paramètre donné sur des zones géographiques étendues. Par exemple les EOF permettent de mettre en lumière le phénomène El Niño qui a une fréquence connue et qui explique en grande partie les conditions météorologiques dans le Pacifique.

Avantages

• Donne en ordre croissant d’intérêt les patterns spatio-temporelles qui expliquent le plus de variabilité et laisse le bruit dans les EOF d'ordre élevé.
• Compacte les informations.
• Les patterns d'EOF et les séries temporelles sont linéairement indépendants.

Inconvénients

• Cette méthode est sensible au choix du domaine spatial et temporel.
• Des phénomènes peuvent être répartis sur plusieurs EOF si leurs valeurs propres sont similaires et que le degré de liberté des séries temporelles est faible.
• Il n'y a pas de garantie que les patterns obtenus aient une signification physique (ça peut être du bruit)[2].

Notes et références

1. Bernard Legras, Fonctions orthogonales empiriques (notes de cours, ENS Ulm).
2. (en) Annalisa Bracco (Georgia Institute of Technology), EOF analysis – Examples.