En mathématiques , la constante omégaΩ réel positif défini par l'égalité
Ω
e
Ω
=
1
{\displaystyle \Omega \mathrm {e} ^{\Omega }=1}
où exp est la fonction exponentielle .
La constante Ω vérifie :
Ω
=
W
0
(
1
)
{\displaystyle \Omega =W_{0}(1)}
En effet, la fonction W de Lambert est la réciproque de la fonction
t
↦
t
exp
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto t\exp(t)}
Ω
=
exp
(
−
Ω
)
{\displaystyle \Omega =\exp(-\Omega )}
Ω
=
−
ln
Ω
{\displaystyle \Omega =-\ln \Omega }
Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS ).
Toute suite définie par récurrence par une valeur initiale arbitraire Ω0 et
Ω
n
+
1
=
e
−
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{n+1}=\mathrm {e} ^{-\Omega _{n}}}
converge vers Ω .
∫
−
∞
+
∞
1
(
e
x
−
x
)
2
+
π
2
d
x
=
1
1
+
Ω
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(\mathrm {e} ^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}}
Ω
=
1
π
Re
∫
0
π
log
(
e
e
i
t
−
e
−
i
t
e
e
i
t
−
e
i
t
)
d
t
=
1
π
∫
0
π
log
(
1
+
sin
t
t
e
t
cot
t
)
d
t
{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}}{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}}\right){\rm {d}}t={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}{\rm {e}}^{t\cot t}\right){\rm {d}}t}
[ 1]
Transcendance
D'après le théorème d'Hermite-Lindemann , Ω est transcendant . En effet, si Ω était algébrique ,
Ω
=
e
−
Ω
{\displaystyle \Omega =\mathrm {e} ^{-\Omega }}
Voir aussi
Liens externes
↑ István Mező , « An integral representation for the Lambert W function », arXiv:2012.02480 [math] , 4 décembre 2020 (lire en ligne , consulté le 14 mai 2021 ) 
