Constante de Komornik-Loreti

Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base ${\displaystyle q}$ pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son ${\displaystyle q}$-développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998[1].

Définition

Étant donné un nombre réel ${\displaystyle q}$ > 1, la série

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

est appelée une ${\displaystyle q}$-expansion, ou ${\displaystyle \beta }$-expansion, du nombre réel positif x si, pour tout ${\displaystyle n\geqslant 0}$, ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \lfloor q\rfloor }$, où${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ est la partie entière de ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle a_{n}}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle a_{0}=0}$, et ${\displaystyle a_{n}=0}$ ou ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, est parfois appelé un ${\displaystyle q}$-développement de 1. Dans le cas où ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, la seule valeur possible de ${\displaystyle q}$ est ${\displaystyle q}$ = 2. Cependant, pour presque tout ${\displaystyle 1<q<2}$, il existe un nombre infini de ${\displaystyle q}$-développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des ${\displaystyle q\in [1,2]}$ pour lesquels il n'existe qu'un seul ${\displaystyle q}$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre ${\displaystyle 1<q<2}$, connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti, pour lequel il existe un unique ${\displaystyle q}$-développement de 1[2].

Valeur

La constante de Komornik-Loreti est la quantité ${\displaystyle q}$ telle que

${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

où ${\displaystyle t_{k}}$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que ${\displaystyle t_{k}}$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de ${\displaystyle k}$ . Elle a pour valeur

${\displaystyle q=1,787231650\ldots \,}$[3]

La suite de ses décimales est donnée par la suite A055060 de l'OEIS.

La constante ${\displaystyle q}$ est aussi la seule racine réelle positive de

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Cette constante est un nombre transcendant.

Voir également

• Constante d'Euler-Mascheroni
• Mot de Fibonacci
• Suite de Rudin-Shapiro
• Constante de Prouhet-Thue-Morse

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Komornik–Loreti constant » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Vilmos Komornik et Paola Loreti, « Unique developments in non-integer bases », The American Mathematical Monthly, vol. 105, n^o 7,‎ 1998, p. 636-639 (DOI 10.2307/2589246, lire en ligne, consulté le 11 juillet 2024).
2. (en) Eric W. Weissman, « q-Expansion », sur MathWorld.
3. (en) Eric W. Weissman, « Komornik–Loreti Constant », sur MathWorld.