Constante de Foias

Évolution de la suite pour diverses valeurs de , autour de la constante de Foias. L'évolution pour est tracée en vert. Les autres valeurs initiales conduisent à deux valeurs d'adhérence 1 et . Le repère est à échelle logarithmique.

En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par

ait pour limite l'infini[1].

Précisions

Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques[2].

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée[3] .

La suite correspondante est équivalente à donc aussi (mais c'est un hasard[1]) à , où π est la fonction de compte des nombres premiers.

Anecdote

On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple[1] : une suite telle que

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car[4] toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement[5] ) de l'équation . Un autre argument consiste à remarquer que .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Foias constant » (voir la liste des auteurs).
  1. a b et c (en) J. Ewing et C. Foias, « An Interesting Serendipitous Real Number », dans C. Caluse et G. Păun, Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma, Londres, Springer-Verlag, (DOI 10.1007/978-1-4471-0751-4_8, lire en ligne), p. 119-126.
  2. « Concours général, session 2020, mathématiques, série S »
  3. Pour plus de décimales, voir la suite A085848 de l'OEIS.
  4. (en) Eric W. Weisstein, « Foias Constant », sur MathWorld.
  5. Pour plus de décimales, voir la suite A085846 de l'OEIS.

Bibliographie

  • (en) S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 430, « Foias' constant »
  • (ro) Andrei Vernescu, « Constante de tip Euler generalizate », Gazeta Matematică, a : Revistă de cultură Matematica, Anul XXV(CIV) no 1,‎ , p. 11-16 (lire en ligne), p. 15