Constante de Foias

Évolution de la suite ${\displaystyle (x_{n})}$ pour diverses valeurs de ${\displaystyle x_{1}}$, autour de la constante de Foias. L'évolution pour ${\displaystyle x_{1}=\alpha }$ est tracée en vert. Les autres valeurs initiales conduisent à deux valeurs d'adhérence 1 et ${\displaystyle +\infty }$ . Le repère est à échelle logarithmique.

En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par

${\displaystyle x_{1}=\alpha \quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}}$

ait pour limite l'infini[1].

Précisions

Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques[2].

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée[3] ${\displaystyle 1{,}187}$.

La suite ${\displaystyle (x_{n})}$ correspondante est équivalente à ${\displaystyle \left({\frac {n}{\ln n}}\right)}$ donc aussi (mais c'est un hasard[1]) à ${\displaystyle \left(\pi (n)\right)}$, où π est la fonction de compte des nombres premiers.

Anecdote

On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple[1] : une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ telle que

${\displaystyle x_{1}>0\quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{x_{n}}}$

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car[4] toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement[5] ${\displaystyle 2{,}293}$) de l'équation ${\displaystyle x=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$. Un autre argument consiste à remarquer que ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\mathrm {e} \neq +\infty }$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Foias constant » (voir la liste des auteurs).

1. (en) J. Ewing et C. Foias, « An Interesting Serendipitous Real Number », dans C. Caluse et G. Păun, Finite versus Infinite: Contributions to an Eternal Dilemma, Londres, Springer-Verlag, 2000 (DOI 10.1007/978-1-4471-0751-4_8, lire en ligne), p. 119-126.
2. « Concours général, session 2020, mathématiques, série S »
3. Pour plus de décimales, voir la suite A085848 de l'OEIS.
4. (en) Eric W. Weisstein, « Foias Constant », sur MathWorld.
5. Pour plus de décimales, voir la suite A085846 de l'OEIS.

Bibliographie

• (en) S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (lire en ligne), p. 430, « Foias' constant »
• (ro) Andrei Vernescu, « Constante de tip Euler generalizate », Gazeta Matematică, a : Revistă de cultură Matematica, Anul XXV(CIV) n^o 1,‎ 2007, p. 11-16 (lire en ligne), p. 15