Complément d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on dit[1] qu'un complément d'un sous-groupe H dans un groupe G est un autre sous-groupe K de G tel que les deux conditions suivantes sont satisfaites :

${\displaystyle 1)\qquad HK=G}$ ;

${\displaystyle 2)\qquad H\cap K=1}$

(où 1 désigne le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre).

Propriétés

Par exemple en passant aux inverses, on vérifie facilement que la condition 1) équivaut à KH = G ; d'autre part, il est clair que la condition 2) équivaut à K ∩ H = 1. Dès lors, dire que H est un complément de K revient à dire que K est un complément de H. Cela revient encore à dire que tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme hk, avec h dans H et k dans K.

Si H et K sont compléments l'un de l'autre dans G, la formule du produit donne

${\displaystyle \ \vert G\vert =\vert H\vert \cdot \vert K\vert .}$

Exemples et contre-exemples

• Soient G un groupe fini, H et K deux sous-groupes de G dont les ordres |H| et |K| sont premiers entre eux et tels que |H|∙|K| = |G| ; alors H et K sont compléments l'un de l'autre dans G. En effet, H ∩ K est sous-groupe de H et de K, donc son ordre |H ∩ K| divise les ordres de H et de K ; puisque ces deux derniers ordres sont premiers entre eux, |H ∩ K| est donc égal à 1, donc la condition 2) de la définition est satisfaite. D'autre part, d'après la formule du produit, l'ensemble HK a pour cardinal${\displaystyle {\frac {\vert H\vert \cdot \vert K\vert }{\vert H\cap K\vert }}=\vert G\vert ,}$donc la condition 1) de la définition est elle aussi satisfaite.
• Si un groupe G est produit semi-direct d'un sous-groupe H par un sous-groupe K, H et K sont des compléments l'un de l'autre dans G. C'est le cas en particulier si G est produit direct de H et de K.
• Si p désigne un nombre premier et n un nombre naturel, l'ensemble des sous-groupes du groupe cyclique Z/p^nZ est totalement ordonné par inclusion. Il en résulte qu'aucun sous-groupe propre et non nul de Z/p^nZ n'a de complément dans Z/p^nZ.
• Plus généralement, si G est un groupe cyclique (nous prendrons ici cette expression au sens de groupe monogène fini), un sous-groupe H de G admet un complément dans G si et seulement si c'est un sous-groupe de Hall de G (c'est-à-dire si |H| et |G/H| sont premiers entre eux).

Démonstration

Prouvons d'abord que si un sous-groupe H du groupe cyclique G n'est pas un sous-groupe de Hall de G, H n'a pas de complément dans G. Supposons que, par absurde, H ait un complément K dans G. D'après une remarque faite plus haut, |G| = |H|∙|K|, donc |K| = |G|/|H| = |G/H|. Puisque H est supposé ne pas être un sous-groupe de Hall de G, il existe donc un nombre premier p qui divise à la fois |H| et |K|. Par exemple d'après le théorème de Cauchy (ou encore parce que H et K sont cycliques et que, pour tout diviseur d de l'ordre d'un groupe cyclique, ce groupe admet un sous-groupe d'ordre d), H admet un sous-groupe P_H d'ordre p et K admet un sous-groupe P_K d'ordre p. Le groupe G, étant cyclique, admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc P_H et P_K sont égaux, donc P_H ⊂ H ∩ K donc H et K ne sont pas complémentaires,

Prouvons maintenant que si H est un sous-groupe de Hall du groupe cyclique G, H admet un complément dans G (ce qui est d'ailleurs un cas particulier d'un théorème de Philip Hall). Puisque G est cyclique, il admet un sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de son ordre, donc il admet un sous-groupe K d'ordre |G|/|H|. Puisque H est supposé être un sous-groupe de Hall de G, les ordres de H et de K sont premiers entre eux. D'autre part, ces ordres ont pour produit l'ordre de G, donc, d'après le premier exemple, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G.

Puisqu'un groupe cyclique admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, le complément de H est unique dans ce cas.

• Un sous-groupe propre et non nul du groupe additif (ℚ, +) des nombres rationnels n'a pas de complément dans (ℚ, +). (En effet, deux sous-groupes non nuls de (ℚ, +) ont toujours un élément non nul en commun, car si a/b est un élément du premier et c/d un élément du second, avec a, b, c et d entiers rationnels non nuls, ac appartient aux deux sous-groupes.)

Notes et références

1. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover 1987, p. 137.

Articles connexes

• Théorème de Schur-Zassenhaus
• Théorème du complément normal de Burnside