Formule du produit (théorie des groupes)

En mathématiques, la formule du produit en théorie des groupes relie les cardinaux de quatre parties d'un groupe, naturellement associées à deux sous-groupes arbitraires.

Énoncé

Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe G. Désignons par HK l'ensemble des éléments de la forme hk, h parcourant H et k parcourant K. Les ordres |H|, |K| et |H∩K| des sous-groupes H, K et H∩K, et le cardinal |HK| de la partie HK sont reliés par la formule suivante, dite formule du produit[1] :

${\displaystyle \vert HK\vert \cdot \vert H\cap K\vert =\vert H\vert \cdot \vert K\vert .}$

Démonstration

Considérons l'application

${\displaystyle f:H\times K\rightarrow HK:(h,k)\mapsto hk.}$

Soit y un élément de HK. Nous pouvons choisir une écriture de y sous la forme hk avec h dans H et k dans K. Nous allons calculer le cardinal de l'ensemble des éléments (h', k') de H × K tels que f(h', k') = y. Ce sont les éléments (h', k') de H × K tels que h'k' = hk, ou encore tels que h^-1h' = kk'^-1. Quand cette dernière relation est satisfaite, h^-1h' est un élément i de H∩K tel que h' = hi et k' = i^-1k. On en tire facilement que les éléments (h', k') de H × K tels que f(h', k') = y sont les éléments de H × K de la forme (hi, i^-1k), où i parcourt H∩K, et sont donc en quantité |H∩K|. La formule du produit en résulte, compte tenu du lemme des bergers.

Cette formule peut aussi s'obtenir comme une application de la formule des classes pour l'orbite de l'élément neutre dans l'action de H × K sur G, chaque couple (h,k) agissant par multiplication à gauche par h et à droite par k^-1.

Généralisation

Pour un élément arbitraire g du groupe G, si l'on note HgK sa double classe, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de la forme hgk quand h parcourt H et k parcourt K, on a[2] :

${\displaystyle |H\cap (gKg^{-1})|\cdot |HgK|=|H|\cdot |K|=|HgK|\cdot |(g^{-1}Hg)\cap K|,}$

ou encore, sous une forme qui fait intervenir l'indice d'un sous-groupe et qui, pour des groupes infinis, est plus forte[3] :

${\displaystyle [H:H\cap (gKg^{-1})]\cdot |K|=|HgK|=|H|\cdot [K:(g^{-1}Hg)\cap K].}$

Notes et références

1. Voir par exemple J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 4^e éd., 1995 (ISBN 9780387942858), p. 30.
2. La seconde de ces deux égalités est énoncée dans le cas particulier où H et K sont finis, sous forme d'exercice, dans : I. Martin Isaacs, Finite group theory, AMS Bookstore, 2008 (ISBN 9780821843444), p. 6. Les classes doubles sont présentées p. 304 du même ouvrage comme les orbites d'une action à droite de H × K sur G, qui n'est autre que la duale de l'action (à gauche) évoquée ci-dessus.
3. La première égalité se déduit de la bijectivité de l'application ${\displaystyle H/\left(H\cap (gKg^{-1})\right)\to \{hgK~|~h\in H\},x=h\left(H\cap (gKg^{-1})\right)\mapsto xgK=hgK,}$

   qui produit une partition de HgK en [H:H∩gKg^–1] parties équipotentes à K. La seconde se démontre de même, ou s'en déduit par passage aux symétriques.