Il a obtenu sa licence en médecine à Stockholm en 1924 et son doctorat en médecine en 1938. De 1939-1957 il a été chirurgien en chef à l'Hôpital de Sabbatsberg à Stockholm (où il travaillait depuis 1928) et de 1957 à 1966 chef du département de chirurgie thoracique à cet hôpital, et parallèlement de 1948 à 1966 professeur à l'Institut Karolinska, où il enseignait depuis 1940.
il est surtout connu pour avoir réalisé la première correction chirurgicale de la coarctation de l'aorte le , un an avant Robert Gross qui est lui aussi souvent cité comme pionnier.
C’est également lui qui a proposé l'héparine pour la prophylaxie de la thrombose pendant les années 1930 et, dans les années 1940, il a été un pionnier de la ventilation mécanique à pression positive pour les opérations du thorax, mettant au point une méthode sécurisée de pneumonectomie.
En 1954 son équipe a réussi la première utilisation de la machine cœur-poumon en Europe (la deuxième utilisation réussie au total).
En 1962, il a reçu le Canada Gairdner International Award. En 1946, il a reçu le Grand Prix (Stora Pris) de l'Institut royal de technologie de Stockholm. Il a reçu plusieurs doctorats honoris causa (Cordoba en Argentine, Coimbra, Turin en 1954, Université San Marco de Lima, Grenoble en 1949, Sorbonne en 1950, Université de Cuyo, Mendoza, Argentine).
L Werkö, « [Clarence Crafoord collaborait volontiers avec des collègues qui travaillaient dans d'autres spécialités] », Läkartidningen, Suède, vol. 96, nos 26-27, , p. 3154 (ISSN0023-7205, PMID10423971)
J Crafoord, « [Clarence Crafoord--un des grands pionniers de la chirurgie au cours de ce siècle] », Läkartidningen, Suède, vol. 96, no 21, , p. 2627–32, 2634–7 (ISSN0023-7205, PMID10388287)