Équation aux dérivées partielles elliptique

En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{a_{ij}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}+\sum _{i=1}^{n}{b_{i}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}+c(\mathbf {x} )f=h(\mathbf {x} ),\ \ \ \mathbf {x} \in U\subset \mathbb {R} ^{n}}$

est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique ${\displaystyle A(\mathbf {x} )=\left(a_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}}$ des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe[1].

Exemples

En physique, les équations de Laplace, ${\displaystyle \Delta V=0}$ et de Poisson ${\displaystyle \Delta V+{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0}$ pour le potentiel électrostatique ${\displaystyle V=V(\mathbf {r} )}$ respectivement dans le vide et pour la distribution de charges ${\displaystyle \rho =\rho (\mathbf {r} )}$ sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont toutes égales à 1, donc non nulles et de même signe.

En revanche pour l'équation d'onde scalaire ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta f=0}$ la matrice A est donnée par ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-c^{2}&0&0\\0&0&-c^{2}&0\\0&0&0&-c^{2}\end{pmatrix}}}$, donc elle possède des valeurs propres non nulles, 1 et -c^2, mais de signe opposé. Il ne s'agit donc pas d'une équation aux dérivées partielles elliptique, mais d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

Notes et références

1. H. Reinhard 2004

Bibliographie

• H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1^re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).

Voir aussi

• Équation aux dérivées partielles
• Équation aux dérivées partielles parabolique
• Équation aux dérivées partielles hyperbolique