Tautología (regla de inferencia)

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal
v t e

En lógica proposicional, la tautología es una regla de reemplazo comúnmente utilizada[1]​ para eliminar la redundancia en disyunciones y conjunciones en las demostraciones lógicas. La tautología se materializa en dos principios:

El principio de idempotencia de la disyunción

${\displaystyle P\lor P\Leftrightarrow P}$

y el principio de idempotencia de la conjunción

${\displaystyle P\land P\Leftrightarrow P}$

donde "${\displaystyle \leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración lógica por".

Relación con la tautología

La regla debe su nombre al hecho de que el concepto de la regla es la misma que las declaraciones tautológicas Si "p y p" es cierto, entonces "p" es verdadero. Y si "p o p" es verdadero, entonces "p" es verdadero. Este tipo de tautología se llama idempotencia. Aunque la regla es la expresión de una tautología en particular, esto es un poco engañoso, ya que todas las reglas de inferencia pueden ser expresadas como una tautología y viceversa.

Notación formal

Los teoremas son estas fórmulas lógicas ${\displaystyle \phi }$ donde ${\displaystyle \vdash \phi }$ es la conclusión de una demostración válida,[2]​ mientras que la consecuencia semántica equivalente ${\displaystyle \models \phi }$ indica una tautología.

La regla tautología puede ser expresada como una consecuente:

${\displaystyle P\lor P\vdash P\,}$

y

${\displaystyle P\land P\vdash P\,}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es un símbolo metalógico que significa que ${\displaystyle P}$ es una consecuencia sintáctica de ${\displaystyle P\lor P}$, en un caso, y ${\displaystyle P\land P}$ en otro, en algún sistema lógico;

o como una regla de inferencia:

${\displaystyle {\frac {P\lor P}{\therefore P}}}$

y

${\displaystyle {\frac {P\land P}{\therefore P}}}$

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "${\displaystyle P\land P}$" o "${\displaystyle P\lor P}$", se puede reemplazar con "${\displaystyle P}$".

o como declaración de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional. El principio fue afirmado como un teorema de la lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

${\displaystyle (P\lor P)\to P\,}$

y

${\displaystyle (P\land P)\to P\,}$

donde P es una proposición expresada en algún sistema formal.

Referencias

1. Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic (4ta edición). Wadsworth Publishing. pp. 364-5. (requiere registro). 
2. Logic in Computer Science, p. 13

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Tautology (rule of inference)» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Datos: Q7688964