Poliedro de Császár

Poliedro de Császár
Una animación del poliedro de Császár, rotando y desplegándose.
Tipo Poliedro toroidal
Caras 14 triángulos
Aristas 21
Vértices 7
Característica de Euler 0
Género 1
Configuración de vértices 3.3.3.3.3.3
Grupo de simetría C2
Dual Poliedro de Szilassi
Propiedades No convexo

En geometría, el poliedro de Császár (ˈtʃaːsaːr) es un poliedro no convexo, topológicamente un toro, con 14 caras triangulares.

Este poliedro no tiene diagonales; cada par de vértices están conectados por una arista. Los 7 vértices y 21 aristas del poliedro forma el grafo completo sobre la superficie de un toro.

El tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos poliedros conocidos que no tienen diagonales, aunque hay otros poliedros conocidos tales como el poliedro de Schönhardt que no tienen diagonales interiores (es decir, todas las diagonales están en el exterior del poliedro), así como las superficies de una sola cara sin diagonales. Si un poliedro con v vértices es proyectado sobre una superficie con h agujeros, de alguna manera cada par de vértices se conecta por una arista, y se deduce de su característica de Euler que

Esta ecuación se satisface para el tetraedro con h = 0 y v = 4, y para el poliedro de Császar con h =1 y v =7. La próxima posible solución, h = 6 y v = 12, correspondería a un poliedro con 44 caras y 66 aristas, pero no es realizable como un poliedro; no se conoce si tal poliedro existe con un género mayor. De manera general, esta ecuación se puede satisfacer solo cuando v es congruente con 0, 3, 4, o 7 módulo 12.

El poliedro de Császár recibe su nombre por el topólogo Ákos Császár, quien lo descubrió en 1949. Su poliedro dual es el poliedro de Szilassi, que fue descubierto más tarde, en 1977, por Lajos Szilassi; este tiene 14 vértices, 21 aristas, y 7 caras hexagonales, cada una comparte una arista con cada una de las otras caras. Al igual que el poliedro de Császár, el poliedro de Szilassi es topológicamente equivalente a un toro.

Referencias

  • Császár, A. (1949), «A polyhedron without diagonals», Acta Sci. Math. Szeged 13: 140-142. .
  • Gardner, Martin (1988), Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman and Company, pp. 139-152, ISBN 0-7167-1924-X .
  • Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American, W. H. Freeman and Company, pp. 118-120, ISBN 0-7167-2188-0 .
  • Lutz, Frank H. (2001), «Császár's Torus», Electronic Geometry Models: 2001.02.069 ..
  • Szabó, Sándor (1984), «Polyhedra without diagonals», Periodica Mathematica Hungarica 15 (1): 41-49, doi:10.1007/BF02109370 ..
  • Szabó, Sándor (2009), «Polyhedra without diagonals II», Periodica Mathematica Hungarica 58 (2): 181-187, doi:10.1007/s10998-009-10181-x ..
  • Ziegler, Günter M. (2008), «Polyhedral surfaces of high genus», en Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M. et al., eds., Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars 38, Springer-Verlag, pp. 191-213, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10, math.MG/0412093  ..

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