Estructura gruesa

En los campos matemáticos de la geometría y de la topología, una estructura gruesa en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y de espacios topológicos.

El objeto de estudio tradicional de la geometría y de la topología es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos, o entornos, son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio, como el carácter de acotado o los grados de libertad del espacio, no dependen de dichas características. La geometría gruesa y la topología gruesa proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y así como una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura gruesa contiene información sobre sus propiedades a gran escala.

Más concretamente, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme.

Definición

Una estructura gruesa en un conjunto ${\displaystyle X}$ es una colección ${\displaystyle \mathbf {E} }$ de subconjuntos de ${\displaystyle X\times X}$ (por lo tanto, cae bajo la categorización más general de relación binaria en ${\displaystyle X}$) llamados conjuntos controlados, y para que ${\displaystyle \mathbf {E} }$ posea la relación identidad, se cierra tomando subconjuntos, inversos y finitos. sindicatos, y está cerrado bajo la composición de relaciones. Explícitamente:

1. Identidad/diagonal:

   Diagonal ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ es miembro de ${\displaystyle \mathbf {E} }$: la relación de identidad.

2. Cerrada bajo la toma de subconjuntos:

   Si ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ y ${\displaystyle F\subseteq E,}$ entonces ${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. Cerrada tomando inversas:

   Si ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$, entonces la inversa (o transpuesta) ${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$ es miembro de ${\displaystyle \mathbf {E} }$: la relación inversa.

4. Cerrada bajo la toma de uniones:

   Si ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ entonces su unión ${\displaystyle E\cup F}$ es miembro de ${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. Cerrada bajo composición:

   Si es ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$, entonces su producto ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ existe }}z\in X{\text{ tal que }}(x,z)\in E{\text{ y }}(z,y)\in F\}}$ es miembro de ${\displaystyle \mathbf {E} }$: composición de relaciones.

Un conjunto ${\displaystyle X}$ dotado de una estructura gruesa ${\displaystyle \mathbf {E} }$ es un espacio grueso.

Para un subconjunto ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle X,}$ el conjunto ${\displaystyle E[K]}$ se define como ${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ para algunos }}k\in K\}.}$ Se define la sección de ${\displaystyle E}$ por ${\displaystyle x}$ como el conjunto ${\displaystyle E[\{x\}],}$ también denotado como ${\displaystyle E_{x}.}$ El símbolo ${\displaystyle E^{y}}$ denota el conjunto ${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$ Estas son formas de proyecciones.

Se dice que un subconjunto ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X}$ es un conjunto acotado si ${\displaystyle B\times B}$ es un conjunto controlado.

Intuición

Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños", o "conjuntos negligibles": un conjunto ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle A\times A}$ esté controlado es negligible, mientras que una función ${\displaystyle f:X\to X}$ tal que su grafo esté controlado está "cerca" de la identidad. En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en métrica uniforme.

Aplicaciones gruesas

Dado un conjunto ${\displaystyle S}$ y una estructura gruesa ${\displaystyle X,}$ se dice que las aplicaciones ${\displaystyle f:S\to X}$ y ${\displaystyle g:S\to X}$ son cerradas si ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$ es un conjunto controlado.

Para estructuras gruesas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y,}$ se dice que ${\displaystyle f:X\to Y}$ es una aplicación gruesa si para cada conjunto acotado ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ el conjunto ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ está acotado en ${\displaystyle X}$ y para cada conjunto controlado ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X}$ el conjunto ${\displaystyle (f\times f)(E)}$ está controlado en ${\displaystyle Y.}$[1]​ Se dice que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son gruesamente equivalentes si existen aplicaciones gruesas ${\displaystyle f:X\to Y}$ y ${\displaystyle g:Y\to X}$ tales que ${\displaystyle f\circ g}$ esté cerca de ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ y ${\displaystyle g\circ f}$ esté cerca de ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

Ejemplos

• Una estructura gruesa acotada

en un espacio métrico ${\displaystyle (X,d)}$ es la colección ${\displaystyle \mathbf {E} }$ de todos los subconjuntos ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X\times X}$, de modo que ${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$ es finito. Con esta estructura, el retículo entero ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ es aproximadamente equivalente al espacio euclídeo ${\displaystyle n}$-dimensional.

• Un espacio ${\displaystyle X}$ donde ${\displaystyle X\times X}$ está controlado se denomina espacio acotado.

Un espacio así equivale aproximadamente a un punto. Un espacio métrico con la estructura gruesa acotada está acotado (como un espacio grueso) si y solo si está acotado (como un espacio métrico).

• La estructura gruesa trivial solo consta de la diagonal y sus subconjuntos. En esta estructura, una aplicación es una equivalencia aproximada si y solo si es una biyección (de conjuntos).
• estructura gruesa ${\displaystyle C_{0}}$

en un espacio métrico ${\displaystyle (X,d)}$ es la colección de todos los subconjuntos ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X\times X}$ tal que para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ hay un conjunto compacto ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle E}$ tal que ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ para todo ${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$ Alternativamente, la colección de todos los subconjuntos ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X\times X}$ tal que ${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$ es compacto.

• Estructura gruesa discreta

en un conjunto ${\displaystyle X}$ consta de la diagonal ${\displaystyle \Delta }$ junto con los subconjuntos ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle X\times X}$ que contienen solo un número finito de puntos ${\displaystyle (x,y)}$) fuera de la diagonal.

• Si ${\displaystyle X}$ es un espacio topológico, entonces estructura gruesa no discreta

en ${\displaystyle X}$ consta de todos los subconjuntos propios de ${\displaystyle X\times X,}$ es decir, todos los subconjuntos ${\displaystyle E}$) de modo que ${\displaystyle E[K]}$ y ${\displaystyle E^{-1}[K]}$ son relativamente compactos siempre que ${\displaystyle K}$ sea relativamente compacto.

Véase también

• Bornología
• Cuasi isometría
• Espacio uniforme

Referencias

1. Hoffland, Christian Stuart. Course structures and Higson compactification. OCLC 76953246. 

Bibliografía

• John Roe, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry
• Roe, John (June–July 2006). «What is...a Coarse Space?» (PDF). Notices of the American Mathematical Society 53 (6): 669. Consultado el 16 de enero de 2008. 

• Datos: Q4502433