Dodecaedro biselado

Dodecaedro biselado
Imagen del sólido
Tipo	Poliedro de Goldberg (GV(2,0)= {5+,3}2,0) Fullereno (C80)[1]​ Sólido casi coincidente de Johnson
Caras	12 pentágonos 30 hexágonos irregulares
Aristas	120 (2 tipos)
Vértices	80 (2 tipos)
Configuración de vértices	60 (5.6.6) 20 (6.6.6)
Grupo de simetría	Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual	Pentaquis icosidodecaedro
Conway	cD= t5daD= dk5aD
Propiedades
Politopo convexo, con caras equiláteras
Desarrollo

En geometría, el dodecaedro biselado (también denominado dodecaedro achaflanado o triacontaedro rómbico truncado) es un politopo convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 30 hexágonos y 12 pentágonos. Está construido como el achaflanado (truncamiento de aristas) de un dodecaedro regular. Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el pentaquis icosidodecaedro.

También se le llama triacontaedro rómbico truncado, construido como el truncado del triacontaedro rómbico. Se le puede llamar con mayor precisión un triacontaedro rómbico truncado de orden 5 porque solo los vértices de orden 5 están truncados.

Estructura

Estos 12 vértices de orden 5 se pueden truncar de modo que todas las raistas tengan la misma longitud. Las 30 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos no regulares y los vértices truncados se convierten en pentágonos regulares.

Las caras del hexágono pueden ser equiláteras pero no regulares, con simetría D₂. Los ángulos en los dos vértices con configuración de vértices 6.6.6 miden ${\displaystyle \arccos \left({\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)=116.565^{\circ }}$ y en los cuatro vértices restantes con disposición 5.6.6, miden 121.717° cada uno.

Es el poliedro de Goldberg G_V(2,0), que contiene caras pentagonales y hexagonales.

También representa la envolvente exterior de la proyección ortogonal centrada en una celda del 120-celdas, uno de los seis 4-politopos regulares convexos.

Química

Esta es la forma del fullereno C₈₀; por lo que a veces esta forma se denomina C₈₀(I_h) para describir su simetría icosaédrica y distinguirla de otros fullerenos de 80 vértices pero menos simétricos. Es uno de los cuatro fullerenos encontrados por Deza, Deza y Grishukhin (1998) que tienen un esqueleto que puede ser incrustable isométricamente en un espacio L₁.

Dodecaedro biselado

Poliedros relacionados

Este poliedro se parece mucho al icosaedro truncado uniforme, que cuenta con 12 pentágonos pero tan solo con 20 hexágonos.

• 
  Triacontaedro rómbico truncado
  G(2,0)
• 
  Icosaedro truncado
  G(1,1)
• 
  Proyección ortogonal centrada en celda del 120-celdas

A partir del dodecaedro biselado se pueden generar más poliedros mediante las operaciones descritas según la notación de poliedros de Conway básica. El dodecaedro achaflanado en cremallera forma un icosaedro truncado achaflanado, que también corresponde al poliedro de Goldberg (2,2).

Poliedros dodecaédricos biselados

semilla	ambo	truncado	cremallera	expandido	bisel	romo	chaflán	remolino
cD= G(2,0) cD	acD acD	tcD tcD	zcD= G(2,2) zcD	ecD ecD	bcD bcD	scD scD	ccD= G(4,0) ccD	wcD= G(4,2) wcD
dual	unión	aguja	n-plicado	orto	medial	giro	chaflán dual	remolino dual
dcD dcD	jcD jcD	ncD ncD	kcD kcD	ocD ocD	mcD mcD	gcD gcD	dccD dccD	dwcD dwcD

Icosaedro truncado biselado

Icosaedro truncado biselado
Poliedro de Goldberg	GV(2,2)= {5+,3}2,2
Notación de Conway	ctI
Fullereno	C240
Caras	12 pentágonos 110 hexágonos (3 tipos)
Aristas	360
Vértices	240
Simetría	Ih, [5,3], (*532)
Dual	Hexapentaquis dodecaedro biselado
Propiedades	Convexo

En geometría, el icosaedro truncado biselado es un poliedro convexo que cuenta con 240 vértices, 360 aristas y 122 caras, (110 hexágonos y 12 pentágonos).

Se construye mediante una operación de achaflanado sobre un icosaedro truncado, agregando nuevos hexágonos en lugar de las aristas originales. También se puede construir como una operación cremallera zip (= dk = dual del n-plicado de) a partir del dodecaedro biselado. En otras palabras, elevar pirámides pentagonales y hexagonales sobre un dodecaedro achaflanado (operación n-plicado o kis) producirá un poliedro geodésico (2,2). Tomando el dual de este último se obtiene el poliedro de Goldberg (2,2), que es el icosaedro truncado achaflanado, y también es el fullereno C₂₄₀.

Dual

Su dual, el hexapentaquis dodecaedro biselado, tiene 240 caras triangulares (agrupadas en 60 (azules), 60 (rojas) alrededor de 12 vértices de simetría quíntuple y 120 alrededor de 20 vértices de simetría séxtuple), 360 aristas, y 122 vértices.

Hexapentaquis dodecaedro biselado

Referencias

1. «C80 Isomers». Archivado desde el original el 12 de agosto de 2014. Consultado el 5 de agosto de 2014. 

Bibliografía

• Deza, Antoine; Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav (October 1998). «Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings». Discrete Mathematics 192 (1–3): 41-80. doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X. 
• Goldberg, Michael (1937). «A class of multi-symmetric polyhedra». Tohoku Mathematical Journal 43: 104-108. 
• Hart, George (2012). «Goldberg Polyhedra». En Senechal, Marjorie, ed. Shaping Space (2nd edición). Springer. pp. 125–138. ISBN 978-0-387-92713-8. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. 
• Hart, George (18 de junio de 2013). «Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra». Simons Science News. 

Enlaces externos

• Truncamiento de vértices y aristas de los sólidos platónicos y de Arquímedes que conducen a poliedros transitivos de vértices Livio Zefiro
• Generador poliédrico VRML (Notación de poliedros de Conway)

• Datos: Q3538651