En geometría euclídea, un cuadrilátero armónico o cuadrángulo armónico,[1] es un cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia (cuadrilátero cíclico) en el que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Tiene varias propiedades importantes.
Propiedades
Sea ABCD un cuadrilátero armónico y M el punto medio de la diagonalAC. Entonces:
Las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos A y C y la línea recta BD se cruzan en un mismo punto o son paralelas entre sí.
Los ángulos ∠BMC y ∠DMC son iguales.
Las bisectrices de los ángulos de B y D se cruzan en la diagonal AC .
Una diagonal BD del cuadrilátero es una simediana de los ángulos en B y D en los triángulos ∆ABC y ∆ADC.
Cuadriláteros armónicos diametrales
Es posible construir cuadriláteros armónicos, de forma que el mayor de los cuatro lados coincida con un diámetro de la circunferencia circunscrita. A continuación se ilustran el caso general y dos casos sencillos:
Caso general
Dado un vétice no diametral, para calcular las coordenadas del segundo vértice no diametral, es necesario efectuar los cálculos siguientes:
Dada una circunferencia de radio 1, se sitúa el lado largo del cuadrilátero armónico sobre el diámetro horizontal. Para calcular los otros dos vértices que definen el cuadrilátero armónico, se definen los parámetros siguientes:
: ángulo que fija el primer vértice
: coordenadas del primer vértice ( y )
: longitud del primer lado
: ángulo para calcular el segundo vértice
: coordenadas del segundo vértice ( y )
: longitud del segundo lado
: longitud del tercer lado
La condición de que se trate de un cuadrilátero armónico, es que coincida el producto de las longitudes de los lados opuestos. Teniendo en cuenta que el lado que coincide con el diámetro de la circunferencia mide 2:
Expresando estas longitudes en función de los parámetros anteriores, se tiene que:
; ;
Sustituyendo en la primera ecuación del producto de las longitudes de los lados opuestos, y elevando ambos términos al cuadrado para eliminar las raíces:
y teniendo en cuenta que y que , se opera, y se obtiene que:
Elevando al cuadrado:
Esta es una ecuación de segundo grado en , con los coeficientes
// //
que se resuelve mediante la fórmula:
(en este caso, la solución correcta es con el signo + de la raíz)
Una vez calculado , se tiene que
, y que el punto buscado tiene las coordenadas del segundo vértice , que son:
En la tabla siguiente se incluye el resultado obtenido a partir de fijar el primer vértice no diametral mediante intervalos de 5 en cinco grados del ángulo :
Coordenadas y dimensiones de los cuadriláteros armónicos diametrales:
BETA
Kx (cos)
Ky(sin)
L (cuerda)
ALFA
x
y
L1
L2
ÁREA
PERÍMETRO
Vértice X
Vértice Y
5
0,996195
0,087156
0,087239
170,018966
-0,984865
0,173322
0,086908
1,992418
0,130239
4,166565
-0,992404
0,17398
10
0,984808
0,173648
0,174311
160,15003
-0,940585
0,339558
0,171703
1,970069
0,256603
4,316083
-0,969845
0,344678
15
0,965926
0,258819
0,261052
150,49711
-0,870331
0,492467
0,252448
1,934079
0,375643
4,447579
-0,932993
0,508967
20
0,939693
0,34202
0,347296
141,1492
-0,778782
0,627295
0,327527
1,886151
0,484657
4,560974
-0,882916
0,664018
25
0,906308
0,422618
0,432879
132,176026
-0,671411
0,741086
0,395725
1,828338
0,581852
4,656942
-0,821001
0,807412
30
0,866025
0,5
0,517638
123,626429
-0,553776
0,832666
0,456253
1,762825
0,666333
4,736716
-0,748873
0,937218
35
0,819152
0,573576
0,601412
115,529137
-0,43097
0,902366
0,508712
1,691727
0,737971
4,801851
-0,668298
1,052025
40
0,766044
0,642788
0,68404
107,895223
-0,307277
0,95162
0,553032
1,616958
0,797204
4,854031
-0,581092
1,150941
45
0,707107
0,707107
0,765367
100,721456
-0,186035
0,982543
0,589391
1,540152
0,844825
4,89491
-0,489042
1,233563
50
0,642788
0,766044
0,845237
93,993857
-0,06965
0,997572
0,618136
1,462634
0,881808
4,926007
-0,393839
1,299916
55
0,573576
0,819152
0,923497
87,690998
0,040289
0,999188
0,639721
1,385432
0,90917
4,948651
-0,297034
1,350386
60
0,5
0,866025
1
81,786789
0,142857
0,989743
0,654654
1,309307
0,927884
4,963961
-0,2
1,385641
65
0,422618
0,906308
1,074599
76,25268
0,23764
0,971353
0,663455
1,234795
0,93883
4,972849
-0,103925
1,406556
70
0,34202
0,939693
1,147153
71,05929
0,32459
0,945855
0,666638
1,162248
0,942774
4,976039
-0,009805
1,414146
75
0,258819
0,965926
1,217523
66,177552
0,403904
0,914801
0,664692
1,091876
0,940364
4,97409
0,08155
1,409503
80
0,173648
0,984808
1,285575
61,579466
0,475939
0,879478
0,658072
1,023778
0,932143
4,967425
0,169496
1,393751
85
0,087156
0,996195
1,35118
57,238555
0,541142
0,840931
0,647198
0,957974
0,918563
4,956353
0,253544
1,368003
90
0
1
1,414214
53,130102
0,6
0,8
0,632456
0,894427
0,9
4,941096
0,333333
1,333333
95
-0,087156
0,996195
1,474555
49,231243
0,653008
0,757351
0,614194
0,833057
0,876773
4,921806
0,408618
1,290761
100
-0,173648
0,984808
1,532089
45,520953
0,700648
0,713507
0,592734
0,773759
0,849157
4,898582
0,479242
1,241231
105
-0,258819
0,965926
1,586707
41,97997
0,743379
0,668871
0,568366
0,71641
0,817398
4,871482
0,545123
1,185615
110
-0,34202
0,939693
1,638304
38,590685
0,781622
0,623753
0,541357
0,660875
0,781723
4,840537
0,606238
1,1247
115
-0,422618
0,906308
1,686783
35,337009
0,815764
0,578385
0,511954
0,607019
0,742346
4,805756
0,662608
1,059198
120
-0,5
0,866025
1,732051
32,204228
0,846154
0,532939
0,480384
0,5547
0,699482
4,767135
0,714286
0,989743
125
-0,573576
0,819152
1,774022
29,178863
0,873102
0,487538
0,44686
0,503782
0,653345
4,724663
0,761346
0,916899
130
-0,642788
0,766044
1,812616
26,248536
0,896884
0,442266
0,411579
0,454128
0,604155
4,678323
0,80388
0,841163
135
-0,707107
0,707107
1,847759
23,401839
0,917742
0,397177
0,374731
0,405606
0,552142
4,628096
0,841983
0,762974
140
-0,766044
0,642788
1,879385
20,62821
0,935886
0,352302
0,336493
0,358089
0,497545
4,573968
0,875755
0,682719
145
-0,819152
0,573576
1,907434
17,917822
0,951499
0,307653
0,297037
0,311452
0,440615
4,515923
0,905294
0,600737
150
-0,866025
0,5
1,931852
15,26148
0,964735
0,263225
0,256527
0,265576
0,381612
4,453955
0,930691
0,517327
155
-0,906308
0,422618
1,952592
12,650524
0,975724
0,219004
0,215122
0,220345
0,320811
4,388059
0,95203
0,432755
160
-0,939693
0,34202
1,969616
10,076738
0,984574
0,174967
0,172977
0,175646
0,258494
4,318238
0,969385
0,347256
165
-0,965926
0,258819
1,98289
7,532266
0,991371
0,131084
0,130244
0,131368
0,194952
4,244502
0,982817
0,261043
170
-0,984808
0,173648
1,992389
5,009537
0,99618
0,087322
0,087072
0,087405
0,130485
4,166867
0,992375
0,17431
175
-0,996195
0,087156
1,998096
2,50119
0,999047
0,04364
0,043609
0,043651
0,065398
4,085356
0,998096
0,087239
70,52877937
0,333333
0,942809
1,154701
70,528779
0,333333
0,942809
0,666667
1,154701
0,942809
4,976068
0
1,414214
En esta tabla, además de las coordenadas de los puntos del cuadrilátero, se han incluido sus áreas y perímetros. Se puede comprobar que tanto el área como el perímetro máximos corresponden a la solución simétrica (incluida en la última fila de la tabla).
También aparecen las coordenadas de los vértices (X, Y), resultantes de la intersección de prolongar los dos lados adyacentes al diámetro. Se comprueba que todos estos vértices se sitúan sobre una elipse, cuyo centro coincide con el de la circunferencia, el semieje menor mide 1 y coincide con uno de los radios del diámetro que forma parte de los cuadriláteros, y cuyo semieje mayor vale .
En consecuencia:
Al trazar desde un punto cualquiera de la elipse dos segmentos hasta los extremos del diámetro base, al cortarse con la circunferencia se generan los otros dos vértices de un cuadrilátero armónico diametral
Cuadrilátero armónico diametral ortogonal
Partiendo de una circunferencia de radio 1, se tiene que la longitud del lado más largo del cuadrilátero coincide con la de un diámetro, y por lo tanto vale 2. El segundo lado conecta uno de los extremos del lado anterior con el extremo de un radio perpendicular al diámetro en cuestión. Las dimensiones de los dos lados restantes del cuadrilátero se calculan determinando el ángulo que haga que se igualen los productos de las longitudes opuestas, es decir:
elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y operando la expresión resultante se llega a:
de donde se obtiene que
elevando ambos términos al cuadrado, se tiene que
; y entonces
de donde
, y
A partir de este ángulo, se tiene que , y entonces:
Cuadrilátero armónico diametral simétrico
Partiendo de una circunferencia de radio 1, se tiene que la longitud del lado más largo del cuadrilátero coincide con la de un diámetro, y por lo tanto vale 2. Las dimensiones de los otros tres lados del cuadrilátero se calculan determinando el ángulo que haga que se igualen los productos de las longitudes opuestas, es decir:
operando esta expresión se llega a:
de donde se obtiene que
, y
A partir de este ángulo, se tiene que:
Referencias
↑Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 100, ISBN978-0-486-46237-0.
Lecturas relacionadas
Gallatly, W. "The Harmonic Quadrilateral." §124 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 90 and 92, 1913.