Conjetura de Artin sobre raíces primitivasEn teoría de números, la conjetura de Artin sobre raíces primitivas expresa que dado un número entero a que no es un cuadrado perfecto y tampoco −1, es una raíz primitiva módulo de infinitos primos p. La conjetura también describe una densidad asintótica de esos primos. Esta densidad conjetural es igual a la constante de Artin o a un múltiplo racional de la misma. La conjetura fue formulada por Emil Artin a Helmut Hasse el 27 de septiembre de 1927, según el diario de este último. A pesar de los importantes progresos realizados, la conjetura sigue sin estar resuelta. De hecho, todavía no existe ni un solo valor de a para el que la conjetura de Artin haya sido demostrada. FormulaciónSea a un entero que no es un cuadrado perfecto y tampoco −1. Escríbase a = a0b2 con a0 libre de cuadrados. Denote por S(a) el conjunto de números primos p tales que a sea una raíz primitiva módulo p. Entonces
Fórmulas de productos similares conjeturadas [1] existen para la densidad cuando a no satisface las condiciones anteriores. En esos casos, la densidad conjeturada es siempre un múltiplo racional de CArtin. EjemploPor ejemplo, tómese a = 2. La conjetura afirma que el conjunto de los números primos p para los cuales 2 es una raíz primitiva tiene la densidad anteriormente citada CArtin. El conjunto de tales primos es (sucesión A001122 en OEIS)
Este tiene 38 elementos más pequeños que 500 y hay 95 primos menores que 500. El radio (que tiende conjeturizadamente a CArtin) es 38/95 = 2/5 = 0.4. Intentos de demostraciónEn 1967, Hooley publicó una prueba condicional para la conjetura, asumiendo ciertos casos de la hipótesis generalizada de Riemann.[2] En 1984, R. Gupta y M. Ram Murty mostraron incondicionalmente que la conjetura de Artin es cierta para infinitos a usando métodos de cribado.[3] Roger Heath-Brown mejoró sus resultados y mostró incondicionalmente que hay, como mucho, dos números primos excepcionales a para los cuales la conjetura de Artin falla.[4] Este resultado no es constructivo, en lo que se refiere a las excepciones. Por ejemplo, se sigue del teorema de Heath-Brown que uno de los primos 3, 5 o 7 es una raíz primitiva módulo p para infinitos p. Pero la demostración no proporciona una forma de calcular cual de ellos es. Véase tambiénReferencias
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