Von 1871 bis 1872 war Dixon Abgeordneter im territorialen Repräsentantenhaus. In den Jahren 1884 und 1889 war er Mitglied der verfassungsgebenden Versammlungen von Montana. Hauptberuflich war er als Rechtsanwalt tätig. Zwischen dem 4. März 1891 und dem 3. März 1893 absolvierte er eine Legislaturperiode als Abgeordneter im Kongress. Nach dem Scheitern seiner Wiederwahl setzte er seine Anwaltstätigkeit fort. Sein Sitz ging an Charles S. Hartman. Dixon bewarb sich auch erfolglos um einen Sitz im US-Senat. Der im November 1910 in Los Angeles verstorbene Politiker wurde auf dem Rock Creek Cemetery in Washington, D.C. beigesetzt.