Sullivan-Starrheit

Im mathematischen Teilgebiet der geometrischen Funktionentheorie ist Sullivan-Starrheit (engl. Sullivan rigidity) eine tiefliegende Verallgemeinerung der Mostow-Starrheit in der Theorie der Kleinschen Gruppen. Sie geht auf Dennis Sullivan zurück.

Sullivan-Starrheit spielt eine zentrale Rolle beim Beweis wesentlicher Sätze der 3-dimensionalen Topologie, zum Beispiel beim Beweis der Ending Lamination Conjecture von Brock-Canary-Minsky und bei Thurstons Beweis der Geometrisierung gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten.

Starrheitssatz

Seien ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset \mathrm {Isom} (H^{n})}$ diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{n},n\geq 3}$, zu denen es einen Isomorphismus ${\displaystyle \rho \colon \Gamma _{1}\to \Gamma _{2}}$ gibt. Die Wirkung von ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ auf ihrer Limesmenge ${\displaystyle \Lambda (\Gamma _{1})}$ sei rekurrent.

Wenn dann ${\displaystyle f\colon \partial _{\infty }H^{n}\to \partial _{\infty }H^{n}}$ ein quasikonformer Homöomorphismus des Randes im Unendlichen des hyperbolischen Raumes ist, so dass

${\displaystyle f(\gamma (x))=\rho (\gamma )(f(x))\ \forall \gamma \in \Gamma _{1},x\in H^{n}}$

gilt und die Einschränkung von ${\displaystyle f}$ auf den Diskontinuitätsbereich ${\displaystyle \Omega (\Gamma _{1})}$ eine konforme Abbildung ist, dann muss ${\displaystyle f}$ eine Möbiustransformation sein.

Anmerkungen

• Die Voraussetzung über eine rekurrente Wirkung auf der Limesmenge ist (nach einem Satz von Ahlfors) für alle endlich erzeugten Gruppen automatisch erfüllt.
• Aus dem Starrheitssatz folgt für endlich erzeugte Kleinsche Gruppen ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {Isom} ^{+}(H^{3})}$, dass jedes ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Beltrami-Differential ${\displaystyle \mu }$ mit ${\displaystyle \mathrm {supp} (\mu )\subset \Lambda (\Gamma )}$ fast überall Null sein muss.
• Sullivan-Starrheit hat zahlreiche Anwendungen in der komplexen Dynamik und in der Geometrie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Literatur

• Dennis Sullivan: On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), pp. 465–496, Ann. of Math. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981.
• Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 5.2: The Sullivan rigidity theorem)
• M. Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 8.6: Sullivan rigidity theorem)