Beresford begann siebenjährig mit Klavierspiel und spielte als Jugendlicher Trompete. Er studierte an der University of York und gründete in dieser Zeit ein Duo mit Han Bennink. Daneben war er in die Theaterszene involviert, spielte Hammond-Orgel in einer Soulband, gehörte zu der von Gavin Bryars gegründeten Portsmouth Sinfonia (die mit ihm auf dem Label Traditional ihr Debütalbum The Portsmouth Sinfonia Plays the Popular Classics (1973) veröffentlichte)[1] und war an Trevor Wisharts Einspielung Journey Into Space (1973) beteiligt. 1974 zog er nach London, wo er mit Derek BaileysCompany auftrat. Mit Nigel Coombes, Roger Smith und Terry Day bildete er 1975 die Gruppe Four Pullovers, die im Bereich der Neuen Improvisationsmusik tätig war. 1977 gründete er mit David Toop, Terry Day und Peter Cusack das Improvisationsensemble Alterations. Daneben spielte er mit Eugene Chadbourne.