Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen sind, also reelle Zahlen zuzüglich ${\displaystyle -\infty }$ und ${\displaystyle +\infty }$.

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.[1]

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega \neq \emptyset }$ und bezeichne ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ die Zweipunktkompaktifizierung der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

${\displaystyle f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}}$

heißt numerische Funktion.

Bemerkungen

Jede reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ist eine numerische Funktion, ebenso die erweiterten Funktionen.

Beispiele

• Die konstante Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}}$ mit ${\displaystyle f(\omega )\colon =c}$, wobei ${\displaystyle c\in {\bar {\mathbb {R} }}}$ also auch als ${\displaystyle +\infty }$ bzw. ${\displaystyle -\infty }$ definiert werden kann.
• Die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}}$, ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x^{2}}},&{\text{falls }}x\not =0\\+\infty ,&{\text{falls }}x=0\end{cases}}}$

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

Literatur

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21026-6, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 

Einzelnachweise

1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. ISBN 978-3-642-21026-6, S. 91.