Kegelhülle

Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.

Definition

Gegeben sei ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle X}$ eine beliebige Teilmenge von ${\displaystyle V}$. Dann heißt

${\displaystyle \operatorname {cone} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ Kegel }}}{\mathcal {K}}}$

die Kegelhülle von ${\displaystyle X}$. Sie ist der kleinste Kegel, der ${\displaystyle X}$ enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

${\displaystyle \operatorname {cone} (X):=\{\lambda x\,|\,x\in X,\,\lambda \geq 0\}}$.

Bemerkungen

• Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume definieren, solange ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ein geordneter Körper ist.
• Die Notation ${\displaystyle \operatorname {cone} (X)}$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise bezeichnet sie auch den kleinsten konvexen Kegel, der ${\displaystyle X}$ enthält und wird dann als konische Hülle oder positive Hülle bezeichnet.

Eigenschaften

• ${\displaystyle \operatorname {cone} }$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für ${\displaystyle X,Y\subset V}$

• ${\displaystyle X\subset \operatorname {cone} (X)}$,
• ${\displaystyle X\subset Y\implies \operatorname {cone} (X)\subset \operatorname {cone} (Y)}$,
• ${\displaystyle \operatorname {cone} (\operatorname {cone} (X))=\operatorname {cone} (X)}$.

• Ist ${\displaystyle \operatorname {conv} (X)}$ die konvexe Hülle von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \operatorname {pos} (X)}$ die konische Hülle, so gilt

${\displaystyle \operatorname {cone} (\operatorname {conv} (X))=\operatorname {conv} (\operatorname {cone} (X))=\operatorname {pos} (X)}$.

• Insbesondere ist die Kegelhülle einer konvexen Menge ein konvexer Kegel.

Beispiele

Gegeben seien die beiden Vektoren

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$.

Dann ist

${\displaystyle \operatorname {cone} (v_{1},v_{2})=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cup \lambda _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,\lambda _{1},\lambda _{2}\geq 0}$

Betrachtet man den Vektorraum der ${\displaystyle 2\times 2}$ Matrizen sowie als Menge ${\displaystyle X}$ aller Drehmatrizen

${\displaystyle R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$,

so ist ${\displaystyle \operatorname {cone} (X)}$ der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben

${\displaystyle \operatorname {cone} (X)={\begin{pmatrix}\lambda \cos \alpha &-\lambda \sin \alpha \\\lambda \sin \alpha &\lambda \cos \alpha \end{pmatrix}},\,\lambda \geq 0}$.

Literatur

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.