Elbe kam 1998 beim Dresdner SC 1898 zur Leichtathletik. 2006 machte sie erstmals auf sich aufmerksam, als sie Deutsche B-Jugendmeisterin (U18) im Dreisprung wurde. Sie konkurrierte auch in anderen Disziplinen, konzentrierte sich dann auf den Dreisprung.
2014 konnte Elbe den Deutschen Vizemeistertitel sowohl in der Halle als auch im Freien gewinnen. International kam sie in Zürich bei den Europameisterschaften auf Platz 11 mit 13,68 m.[3]
2016 wurde Elbe erneut Deutsche Hallenmeisterin. Beim DSC-Jugendmeeting am 14. Mai 2016 in Dresden sprang sie mit 14,28 m neue persönliche Bestleistung und ist damit die sechstbeste deutsche Dreispringerin aller Zeiten. Bei den Europameisterschaften in Amsterdam kam Elbe mit 14,08 m auf den siebten Platz. Da sie die Qualifikationsweite im Dreisprung von 14,15 m erreicht hatte, konnte sie an den Olympischen Spielen in Rio de Janeiro teilnehmen. Dort verpasste sie mit 14,02 m in der Qualifikation als Dreizehnte den Einzug ins Finale.
2017 holte sich Elbe wiederum den Hallenmeistertitel. Bei den Halleneuropameisterschaften in Belgrad sprang sie in der Qualifikation mit 14,27 m eine persönliche Bestleistung und belegte im Finale den 6. Platz. Die Freiluftsaison musste Elbe auf Anordnung der Ärzte wegen einer Knieverletzung vorzeitig beenden und nutzte die Zeit für ihren Studienabschluss.[1][4]
Ende Januar 2018 musste Elbe die Hallensaison wegen einer Fersenprellung abbrechen.[5]
Elbe musste auch die Sommersaison 2018 und 2019 verletzungsbedingt absagen. Ende 2019 beendete sie ihre Karriere.
Jenny Elbe ist die Tochter von Jörg Elbe, DDR-Vizemeister im Dreisprung, und Birgit Elbe, Spartakiade-Siegerin im Siebenkampf. Sie lebt in Dresden und arbeitet bei der AOK Plus.