Nach seiner Promotion an der Universität Hamburg wechselte er kurzzeitig an die Universität Heidelberg, wo er seine spätere Ehefrau Aenne Albersheim kennenlernte, die er im Mai 1925 heiratete. Danach ging er wieder zurück an die Universität Hamburg, wo er sich 1924 habilitierte. Seine Frau starb 1927 bei der Geburt ihres einzigen gemeinsamen Kindes.
Behnke erhielt im selben Jahr eine Professur an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster, an der er bis zu seiner Emeritierung 1967 und noch darüber hinaus tätig blieb. Er heiratete 1932 Elisabeth Hartmann, die in Jena, Göttingen und Münster Mathematik studiert hatte.
1934 publizierten Behnke und Peter Thullen den Aufsatz „Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen“. Thullen musste aber schon 1933 Deutschland verlassen, da er von den Nationalsozialisten verfolgt wurde. Obwohl Münster schon während des Krieges zerstört war, hielt Behnke weiter Vorlesungen. Nach dem Krieg wurde er Dekan der Philosophisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Münster bis 1949. Von 1954 bis 1958 war er Präsident der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission (IMUK) sowie 1964 und 1965 Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Neben seiner Forschungstätigkeit hat Behnke sich auch stets um den Zusammenhalt von Universität und höherer Schule gekümmert.
Mitglied der Gelehrtenakademie Leopoldina (seit 1936)[2]
Schriften
Semesterberichte – Ein Leben an deutschen Universitäten im Wandel der Zeit (Autobiographie), Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1978, ISBN 978-3-525-40724-0.
mit Peter Thullen: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher, Springer Verlag, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 1934, 2. Auflage unter Mitwirkung von Reinhold Remmert 1970
mit Friedrich Sommer: Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Springer Verlag, 3. Auflage 1965
Vorlesung über Differentialgeometrie, Münster, Aschendorff, 7. Auflage 1966
Vorlesung über gewöhnliche Differentialgleichungen, Münster, Aschendorff, 4. Auflage 1963
Vorlesungen über Algebra, Münster, Aschendorff, 3. Auflage 1958
Vorlesungen über Zahlentheorie, Münster, Aschendorff, 5. Auflage 1961
Vorlesung über klassische Funktionentheorie, Aschendorff
Vorlesung über Infinitesimalrechnung, Aschendorff
Herausgeber mit Horst Tietz und anderen: Fischer Lexikon Mathematik, 2 Bände, zuerst 1964
Herausgeber mit Hans-Georg Steiner: Mathematischer Unterricht an deutschen Universitäten und Schulen. Vandenhoeck & Ruprecht 1967
Herausgeber mit Kuno Fladt, Wilhelm Süss: Grundzüge der Mathematik, 3 Bände, Vandenhoeck & Ruprecht 1958 (englische Übersetzung bei MIT Press)
Herausgeber mit Detlef Laugwitz: Mathematik für Studienanfänger, BI Hochschultaschenbuch
Herausgeber mit K. Kopfermann: Festschrift zur Gedächtnisfeier für Karl Weierstraß. 1815–1965. Wissenschaftliche Abhandlungen der Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Band 33, Köln und Opladen: Westdeutscher Verlag, 1966
Uta Hartmann: Heinrich Behnke (1898–1979) : zwischen Mathematik und deren Didaktik. Frankfurt am Main, Berlin etc. : Peter Lang 2009 (zugleich Dissertation an der Universität Hamburg 2009) ISBN 978-3-631-58860-4.
Karl Peter Grotemeyer, Arnold Kirsch (Hrsg.): Mathematik an Schule und Universität – Heinrich Behnke zum 65. Geburtstag gewidmet. Vandenhoeck & Ruprecht 1964.
Horst Tietz: Im Herbst des Lebens. Heinrich Behnke zum 80. Geburtstag. In: Math.Phys. Semesterberichte. Band 25, 1978, Heft 2, S. 165 (und sein Nachruf in Math. Phys. Semesterberichte 1980, Heft 1).
Volker Remmert: Ungleiche Partner in der Mathematik im Dritten Reich: Heinrich Behnke und Wilhelm Süss. In: Math.Phys. Semesterberichte. Band 49, 2002, S. 11.
