Bronk stammte aus alteingesessener New Yorker Familie. Einer seiner Vorfahren (Jonas Bronk) war Namensgeber der Bronx, die Vorfahren lassen sich bis auf einen 1710 in die heutigen USA eingewanderten Schmied namens Brunck aus der Pfalz zurückverfolgen. Er studierte am Swarthmore College Elektrotechnik mit dem Bachelor-Abschluss sowie Physik an der University of Michigan mit dem Master-Abschluss 1922 und der Promotion 1924. Schon in seiner Dissertation hatte er sich der Biophysik zugewandt. Er wurde Professor am Swarthmore College und 1929 Professor für Biophysik an der University of Pennsylvania, an der er Direktor der Eldridge Reeves Johnson Foundation for Medical Physics und des Instituts für Neurologie wurde. 1940/41 war er zusätzlich Professor für Physiologie am Medical College der Cornell University. 1948 wurde er (als Nachfolger von Isaiah Bowman) Präsident der Johns Hopkins University und 1953 des Rockefeller Institute.
Sein Hauptforschungsgebiet war Regulation des Nervensystems, zum Beispiel bei der Regulierung des Blutdrucks. Mit M. G. Larrabee fand er eine Abhängigkeit transsynaptischer Erregung von vorheriger Aktivität, ein experimenteller Hinweis auf Gedächtnisphänomene im Synapsensystem. Bronk untersuchte auch die chemische Erregung von Synapsen, die Wärmeerzeugung von Nerven und ihren Sauerstoffverbrauch. In den 1920er Jahren arbeitete er darüber mit Edgar Adrian zusammen, bei dem er 1928 in Cambridge war. Danach war er bei Archibald Vivian Hill in London.