ৰয়ৰ সমীকৰণ

ৰয়ৰ সমীকৰণ ব্যষ্টিবাদী অৰ্থনীতিৰ এক অতিকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ সমীকৰণ। ফঁৰাচী অৰ্থনীতিবিদ ৰেণে ৰয়ৰ নামেৰে নামাংকিত এই সমীকৰণৰ ব্যৱহাৰ উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব আৰু উৎপাদক আচৰণ তত্ত্বত বিশেষভাৱে কৰা হয়। এই প্ৰমেয়িকাত সাধাৰণ বা মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলনৰ সম্বন্ধ পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনৰ সৈতে স্থাপিত কৰা হয়। যদি পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনক আমি এনেদৰে প্ৰকাশিত কৰোঁ- ${\displaystyle v(p,w),}$ তেন্তে পণ্য ${\displaystyle i}$ৰ মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলন এনেধৰণৰ-

${\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}$

ইয়াত ${\displaystyle p}$ প্ৰত্যেক পণ্যৰ মূল্যৰ সদিশ আৰু ${\displaystyle w}$ আয়[1]।

প্ৰমাণ

ৰয়ৰ সমীকৰণত শ্বেফাৰ্ডৰ প্ৰমেয়িকাক নৱৰূপ দিয়া হয়, কোনো পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনৰ পৰা কোনো বিশেষ ব্যক্তিৰ পণ্য ${\displaystyle i}$ৰ চাহিদা বিচাৰিবলৈ।

প্ৰথমে আমি আয় ${\displaystyle w}$ৰ স্থানত ব্যয়ৰ ফলন পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনৰ সূত্ৰ ${\displaystyle v(p,w)}$ত ব্যৱহাৰ কৰিম। এনে কৰি আমি পাওঁ

${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$

এই সমীকৰণে কয় যে যি পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনক এনেদৰে বিচৰা যায় যে কোনো উপযোগিতা স্তৰ লাভ কৰিবলৈ নূন্যতম ব্যয় কৰিব লাগে, য'ত মূল্য সদিশ ${\displaystyle p}$ দিয়া আছে, আমি পাম যে ই সেই মূল্য সদিশত উপযোগিতা গণনা কৰিলে যিমান উপযোগিতা পাম, তাৰ সমান।

উপযোগিতাৰ স্তৰ নসলোৱাকৈ, কোনো পণ্য ${\displaystyle i}$ৰ মূল্য ${\displaystyle p_{i}}$ৰে এই সমীকৰণৰ দুয়ো দিশ অৱকলন কৰি আমি পাওঁ-

${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$.

এই সমীকৰণক পৃথকভাৱে সজাই আমি ইচ্ছিত ফল পাওঁ:

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$

য'ত শেষৰ পৰা দ্বিতীয় সমানতা শ্বেফাৰ্ডৰ প্ৰমেয়ৰ বাবে সত্য আৰু অন্তিম সমতা হিক্সিয়ান চাহিদা ফলনৰ এটি গুণ।

আৱৰণ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি সহজ প্ৰমাণ (২ পণ্যৰ ক্ষেত্ৰত)

যিহেতু ওপৰত সম্পূৰ্ণ প্ৰমাণ দিয়া হৈছেই, এই অংশত আমি আৱৰণ উপপাদ্য (Envelope Theorem) ব্যৱহাৰ কৰি, কেৱল ২ পণ্য থকা বজাৰৰ বাবে ৰয়ৰ সমীকৰণক প্ৰমাণ কৰিম। এনে কৰিলে গাণিতিক জটিলতা নোহোৱাকৈ ৰয়ৰ সমীকৰণ থুলমুলকৈ বুজিব পাৰি।

এই ক্ষেত্ৰত পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলন ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ তলত দিয়া লাগ্ৰাঞ্জিয়ানে সংজ্ঞায়িত কৰা বাধিত বৃহদায়ন সমস্যাৰ সমাধান[2]-

${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$

আৱৰণ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি, এই ফলন ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ৰ অৱকলসমূহ এনেধৰণৰ-

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$

য'ত ${\displaystyle x_{1}^{m}}$ বৃহদায়ন কৰা সংখ্যা (মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলন)। সেয়ে:

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$

প্ৰয়োগ

ৰয়ৰ সমীকৰন ব্যৱহাৰ কৰি কোনো উপভোক্তাৰ পৰোক্ষ উপযোগিতা ফলনৰ পৰা উপভোক্তাজনে বিভিন্ন পণ্যৰ বাবে ৰখা মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যায়। এই পদ্ধতিয়ে স্লাট্‌স্কি সমীকৰণৰ ব্যুৎপত্তিতো বিশেষ সহায় কৰে।

তথ্য সংগ্ৰহ

1. Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third সম্পাদনা). প্ৰকাশক New York: Norton. পৃষ্ঠা. 106–108. https://archive.org/details/microeconomicana00vari_0. 
2. Cornes, Richard (1992). Duality and Modern Economics. প্ৰকাশক New York: Cambridge University Press. পৃষ্ঠা. 45–47. ISBN 0-521-33291-5. https://books.google.com/books?id=HO8zAAAAIAAJ&pg=PA45. 

• Roy, René (1947). "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens". Econometrica খণ্ড 15 (3): 205–225. 

লগতে চাওক

• ৱালৰাছৰ বিধান
• মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলন
• উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব
• উৎপাদকৰ আচৰণৰ তত্ত্ব