إزاحة افتراضية

إن الإزاحة الافتراضية $\delta \mathbf {r} _{i}\,$ «هي تغير مفترض متناهي الصغر في إحداثيات النظام يحدث أثناء ثبوت الزمن. وسميت افتراضية وليست حقيقة لأنه يستحيل أن تحدث إزاحة فعلية دون مرور زمن.»^[1]^:263

في علم المصطلحات الحديث، تكون الإزاحة الافتراضية هي متجه المماس لمتعدد الشعب الذي يمثل القيود عند زمن محدد. وبخلاف الإزاحة العادية التي تنشأ عن التفاضل فيما يتعلق بمعامل الزمن $t\,$ عبر مسار الحركة (وبهذا يتم التوجيه في اتجاه الحركة), تنشأ الإزاحة الافتراضية عن التفاضل المتعلق بالمعامل $\epsilon \,$ لترقيم مسارات الحركة المتغيرة بطريقة تتسق مع القيود (وبهذا يتم التوجيه نحو زمن ثابت في اتجاه المماس إلى متعدد الشعب المقيد). ويستخدم الرمز $\delta \,$ بصورة تقليدية للدلالة على الاشتقاق المقابل $\textstyle {\partial \over {\partial \epsilon }}{\big |}_{\epsilon =0}\,$ .

إن التفاضل الكامل لأي مجموعة من ممسات مركز النظام, $\mathbf {r} _{i}\,$ ، التي هي دوال لمتغيرات أخرى, $\lbrace q_{1},q_{2},...,q_{m}\rbrace \,$ , ويمكن التعبير عن الزمن $t\,$ بالطريقة التالية:^[1]^:264

d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}\,

وبدلاً من ذلك، إذا كنا نريد الإزاحة الافتراضية (الإزاحة التفاضلية الافتراضية), فإن^[1]^:265

\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,

تستخدم تلك المعادلة في ميكانيك لاغرانج لتربط الإحداثيات المعممة, $q_{j}\,$ , بـ الشغل الافتراضي, $\delta W\,$ , والقوى المعممة, $Q_{j}\,$ .

في الميكانيكا التحليلي] يكون مفهوم الإزاحة الافتراضية، المرتبط بمفهوم الشغل الافتراضي , مفيدًا فقط عند مناقشة عنصر نظام فيزيائي بالنسبة للقيود على حركته.^{[بحاجة لمصدر]} وهناك حالة خاصة للإزاحة الموحلة في الصغر (يرمز إليها دائمًا بـ $d\mathbf {r} \,$ ), تشير الإزاحة الافتراضية (رمزها $\delta \mathbf {r} \,$ ) إلى تغير موحل في الصغر في إحداثيات مركز النظام بحيث تظل القيود مستوفاة.^{[بحاجة لمصدر]}

فعلى سبيل المثال، إذا كانت حبة مقيدة بالحركة في طوق، فيمكن تمثيل موضعها بإحداثي الموضع $\theta \,$ , الذي يعطي الزاوية التي توجد عندها الحبة. ولنقل إن الحبة توجد بأعلى. فعند تحريك الحبة إلى أعلى مباشرةً من ارتفاعها $z\,$ إلى ارتفاع $z+dz\,$ قد يمثل إزاحة موحلة في الصغر ممكنة، ولكنه قد يخترق القيد. إن الإزاحة الافتراضية الوحيدة الممكنة هي الإزاحة من مركز الحبة, $\theta \,$ إلى مركز جديد $\theta +\delta \theta \,$ ^{[بحاجة لمصدر]} (حيث قد تكون $\delta \theta \,$ موجبة أو سالبة).

يجب أيضًا أن نلاحظ أن الإزاحة الافتراضية هي إزاحات مكانية على وجه التحديد - الزمن يكون ثابتًا أثناء حدوث الإزاحة الافتراضية. فعند حساب التفاضلات الافتراضية لكميات هي دوال لإحداثيات المكان والزمن, فلن يتم اعتبار الاعتماد على الزمن (مساويًا رسميًا لـ $\delta t=0\,$ ).

انظر أيضاً

المراجع

^ ^ا ^ب ^ج Torby، Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN:0-03-063366-4.