مصفوفة مشابهة

في علم الجبر الخطي، توصف مصفوتين A و B مربعتين (أي بأبعاد n×n) بالـ تشابه في مجال K في حال وجود مصفوفة P في مجال K بحيث:

${\displaystyle \!P^{-1}AP=B.}$

وأحد معاني تحويل التشابه هو تحويل مصفوفة A إلى مصفوفة B

الخصائص

التشابه هي علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة:

• الرتبة (rank)
• المحدد
• الأثر (trace)
• القيمة الذاتية إلا أن المتجه الذاتي يكون مختلفا.
• كثيرات الحدود المميزة (characteristic polynomial)
• كثيرات الحدود الاصغرية (minimal polynomial)
• المقسوم عليه المبدئي.

وهناك سببين لهذا التشابه:

• المصفوفتين المتشابهتين لهما نفس التساقط الخطي (linear map) إلا أن لهما قاعدة فضاء متجه (basis of a vector space) مختلفة.
• ان التساقط X ${\displaystyle \mapsto }$ P^−1XP هي مورفيزم ذاتية من نوع الجبر الترابطي لكل مصفوفات n-في-n.

وبسبب هذه الخواص، عاذة ما تحول أي مصفوفة مربعة A إلى مصفوفة مشابهة B بسيطة مما يجعل أمرد دراستها وتحليلها أسهل.

ملاحظات

لا يعتمد تشابه المصفوفات على أساسيات المجال: فمثلا، إذا كانت L مجال يحتوي على المجال فرعي K، وA وB هما مصفوفتين في مجال K، فتكون المصفوفتين A و B متشابهتين في المجال K الا في حالة تشابههما في المجال L.

في تعريف التشابه نفسه، إذا اختيرت المصفوفة × كمصفوفة مقايضة (permutation matrix) فتكون المصفوفتين A وB مشابهة التقايض (permutation-similar) أيضا. وكذلك، إذا اختيرت المصفوفة × كمصفوفة أحادية الوحدة (unitarily matrix) فتكون المصفوفتين A وB مكافئة في أحادية الوحدة أيضا. ونظرية الطيف () فإن كل مصفوفة متعامدة (normal matrix) هي متكافئة في أحادية الوحدة مع مصفوفة قطرية (diagonal matrix).

تطبيقات

• تستعمل المصفوفات المتشابهة في علم المعلوماتية الحيوية لضبط التراصف التسلسلي.
• وفي الرياضيات التطبيقية، تستعمل المصفوفات المتشابهة لحساب دالات المصفوفات مثل أس المصفوفة وقوة المصفوفة.

مجالات أخرى

• في نظرية الزمر، تسمى التشابه الفئة الزواجية (conjugacy).
• في نظرية التصنيف، وبالنسبة لفصيلة P_n من مصفوفات n-في-n عكاسية، فإن أي تعريف لتشابه مستطيل التي حرسل مصفوفة A ذو أبعاد m-في-n إلى P_m^−1AP_n فالفصيلة تعرف المدلل(functor) أوتومورفيزمي للتصنيف لكل المصفوفات المؤلفة من الأرقام الطبيعية ومورفيزم من n إلى m والمصفوفة m-في-n التي أسست من عمليى ضرب الصفوفات.