قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة

العدد 6 هو عدد تام.

أعداد مِرْسين الأولية[ع 1] (بالإنجليزية: Mersenne number)‏ والأعداد التامة[ع 2] (بالإنجليزية: Perfect Number)‏ هما نوعان من الأعداد الطبيعية مرتبطان أحدهما بالآخر، وهما موضوع دراسة في مجال نظريَّة الأعداد.[ا] أعداد مرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين مرسين، هي أعداد أولية يمكن كتابتها بالصيغة: 2^p − 1، وفيها p هو عدد صحيح موجب.[ع 3] العدد 3 على سبيل المثال، هو من أعداد مرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن كتابته بصيغة: 2^2 − 1.[1][وب-إنج 1][ع 4] أما الأعداد التامة، فهي أعداد صحيحة موجبة يساوي كل منها مجموع قواسمه الموجبة ما خلا العدد نفسه. العدد 6 على سبيل المثال، عددٌ تام لأنَّ قواسمه الموجبة هي 1 و2 و3، ومجموعها: 1 + 2 + 3 = 6.[وب-إنج 1][2][ع 5]

لكي يكون عدد مرسين أوليًا، يلزم أن يكون p في الصيغة: 2^p − 1 أوليًا. لكن هذا لا يعني أن كل عدد أولي p سينتج عدد مرسين أولي. على سبيل المثال، من أجل p تساوي 11، وهو عدد أولي، يكون ناتج 2^11 − 1 = 2047، وهو ليس عددًا أوليًا، ولا من أعداد مرسين لأنَّهُ حاصل ضرب 23 × 89.[وب-إنج 2] بعبارةٍ أخرى، كُل عدد مرسين أولي هو عدد أولي، ولكن ليس كُل عدد أولي هو عدد مرسين أولي.

تربط دالة تقابل أعداد مرسين الأولية بالأعداد التامة. تُكتَب الأعداد التامة بالصيغة:

2^p − 1 × (2^p − 1)

وفيها p هو عدد أولي، و2^p − 1 هو عدد مرسين أولي. لذا، يولِّد كلُّ عددٍ مكتشف من أعداد مرسين الأولية عددًا تامًا زوجيًا جديدًا مقابل له. مع ذلك، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان يوجد أعداد تامة فرديَّة. ويعود ذلك التقابل إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي وضع أساسها إقليدس وأكمل برهانها ليونهارت أويلر، وتنصُّ المبرهنة على أن العدد التام يكون زوجيًا، إذا وفقط إذا، أمكن التعبير عنه بالصيغة المذكورة سابقًا.[ع 6] بتعبيرٍ آخر، كلُّ عددٍ يمكن صياغته بهذه الطريقة هو عدد تام، وتتبع الأعداد التامة الزوجية كلها هذه الصيغة. على سبيل المثال، عندما تكون p = 2، فإنَّ الناتج من الصيغة 2^2 − 1 = 3 وهو عدد مرسين أولي، وعند ضربه في 2^2 − 1، يكون الناتج 2 × 3 = 6 هو عدد تام.[وب-إنج 3][ع 5]

مسألة وجود أعداد لا نهائيَّة من أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة الزوجيَّة من التحدِّيات التي لم تُحل بعد في علم الرياضيَّات.[وب-إنج 1] ويمكن تقريبًا تقدير عدد مرَّات تكرار أعداد مرسين الأولية باستعمال بعض حدسيات مرسين، وهي فرضيات رياضيَّة تتعلَّق بتوزيع وخصائص أعداد ميرسين، وتنصُّ إحدى هذه الحدسيات على أن العدد المتوقع من أعداد مرسين تحت قيمة معينة x يمكن تقديره بالصيغة:

(e^γ / log 2) × log (log x)

وفيها e هو عدد أويلر، وγ هو ثابت أويلر، وlog هو اللوغارتم الطبيعي.[وب-إنج 4][3][4] بالرغم من عدم إثبات وجود أعداد تامة فرديَّة، فقد أثبتت عدَّة شروطٍ لوجودها، منها أنَّهُ إذا وُجد عدد تام فردي، فيجب أن يكون أكبر من 10^1500. هذه النتيجة تعني أن أي عدد تام فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى العام 2012، لم يُعثَر على أيِّ عددٍ تام فردي.[5]

قائمة الأعداد

يذكر الجدول قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس p المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2024م، اكتشاف 52 عددًا أوليًا من أعداد مرسين (وبالتالي 52 عددًا تامًا)، واكتشاف أكبر 18 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم البحث الكبير عن أعداد مرسين على الإنترنت (بالإنجليزية: Great Internet Mersenne Prime Search)‏ اختصارًا (GIMPS).[وب-إنج 1][ع 5] تُكتشف أعداد مرسين الأولية الجديدة باختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما (بالإنجليزية: Lucas–Lehmer test)‏ اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد مرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على نظام العد الثنائي.[وب-إنج 1]

يستند الترتيب الحالي لأعداد مرسين الأولية إلى المعلومات المتوفِّرة حتَّى عام 2022م، واحتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضئيل، إلاَّ أنَّ حدوث ذلك قد يؤدِّي إلى تغيير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع «البحث الكبير»، فحصت جميع أعداد ميرسين التي يقل الأس فيها عن p = 57,885,161 (وهو الأس المرتبط بالعدد 48 في الترتيب) حتى يناير 2024،[وب-إنج 5] ممَّا يجعل من غير المحتمل اكتشاف عدد جديد بأس أصغر من 57,885,161.

يُذكَر بالجدول اسم مكتشف العدد وتاريخ الاكتشاف لكل عدد مرسين، نظرًا لأنَّ الأعداد التامة الزوجيَّة تُولَّد مباشرة من أعداد مرسين بعد اكتشافها وفقًا لمبرهنة إقليدس وأويلر، فلا تُذكر معلومات منفصلة لمكتشف العدد التام. عندما يشار إلى المكتشف بالاسم الرمزي: «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أنَّ الاكتشاف حدث عبر مشروع «البحث الكبير»، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة له. بالنسبة للأرقام الكبيرة جدًّا، يعرض أوَّل أرقامٍ منها فقط وآخر ستَّة.

جدول يحتوي على جميع أعداد مرسين الأولية المعروفة حاليًا والأعداد التامة المقابلة لها وعددهم 52

الترتيب	p	عدد مرسين Mp		العدد التام		تاريخ الاكتشاف	المكتشف	طريقة الاكتشاف	المراجع[وب-إنج 6][6]
		القيمة	عدد الأرقام	القيمة	عدد الأرقام
1	2	3	1	6	1	000000000100-01-01-0000عصور قديمة[ب]	معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء	غير مسجَّلة	[وب-إنج 7][7]
2	3	7	1	28	2				[وب-إنج 7][7]
3	5	31	2	496	3				[وب-إنج 7][7]
4	7	127	3	8128	4				[وب-إنج 7][7]
5	13	8191	4	33550336	8	000000001456-01-01-0000 القرن الثالث عشر الميلادي / قرابة 1456م[ج]	ابن فلُّوس / شخص مجهول[د]	القسمة المتكررة	[7]
6	17	131071	6	8589869056	10	000000001588-01-01-00001588م[ج]	بييترو كاتالدي		[وب-إنج 1]
7	19	524287	6	137438691328	12				[وب-إنج 1]
8	31	2147483647	10	952128...230584	19	000000001772-01-01-00001772م	ليونهارت أويلر	القسمة المتكررة مع قيود معيارية	[وب-إنج 9][وب-فر 1]
9	61	693951...230584	19	842176...265845	37	000000001883-11-01-0000نوفمبر 1883	إيفان ميخيفيتش بيرفوشين	متتالية لوكاس	[فر 1]
10	89	562111...618970	27	169216...191561	54	000000001911-06-01-0000يونيو 1911	رالف إرنست باورز		[8]
11	107	288127...162259	33	728128...131640	65	000000001914-06-01-00001 يونيو 1914			[9]
12	127	105727...170141	39	152128...144740	77	000000001876-01-10-000010 يناير 1876	إدوارد لوكا		[10]
13	521	057151...686479	157	646976...235627	314	000000001952-01-30-000030 يناير 1952	رافائيل إم. روبنسون	اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC)	[11]
14	607	728127...531137	183	328128...141053	366				[11]
15	1,279	729087...104079	386	291328...541625	770	000000001952-06-25-000025 يونيو 1952			[12]
16	2,203	771007...147597	664	782528...108925	1,327	000000001952-10-07-00007 أكتوبر 1952			[13]
17	2,281	836351...446087	687	915776...994970	1,373	000000001952-10-09-00009 أكتوبر 1952			[13]
18	3,217	315071...259117	969	525056...335708	1,937	000000001957-09-08-00008 سبتمبر 1957	هانز ريزل	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (BESK)	[14]
19	4,253	484991...190797	1,281	377536...182017	2,561	000000001961-11-03-00003 نوفمبر 1961	ألكسندر هورويتز	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 7090)	[15]
20	4,423	580607...285542	1,332	534528...407672	2,663				[15]
21	9,689	754111...478220	2,917	577216...114347	5,834	000000001963-05-11-000011 مايو 1963	دونالد بي. غيليز	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II)	[16]
22	9,941	463551...346088	2,993	496576...598885	5,985	000000001963-05-16-000016 مايو 1963			[16]
23	11,213	392191...281411	3,376	086336...395961	6,751	000000001963-06-02-00002 يونيو 1963			[16]
24	19,937	041471...431542	6,002	942656...931144	12,003	000000001971-03-04-00004 مارس 1971	بريانت توكيرمان	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 360/91)	[17]
25	21,701	882751...448679	6,533	605376...100656	13,066	000000001978-10-30-000030 أكتوبر 1978	لاندون كيرت نول ولورا نيكل	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (CDC Cyber 174)	[18]
26	23,209	264511...402874	6,987	666816...811537	13,973	000000001979-02-09-00009 فبراير 1979	لاندون كيرت نول		[18]
27	44,497	228671...854509	13,395	827456...365093	26,790	000000001979-04-08-00008 أبريل 1979	هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (كراي-1)	[19]
28	86,243	438207...536927	25,962	406528...144145	51,924	000000001982-09-25-000025 سبتمبر 1982	ديفيد سلوينسكي		[20]
29	110,503	515007...521928	33,265	862528...136204	66,530	000000001988-01-29-000029 يناير 1988	والتر كولكيت ولوك ويلش	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (NEC SX-2)	[21]
30	132,049	061311...512740	39,751	550016...131451	79,502	000000001983-09-19-000019 سبتمبر 1983	ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي	اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP)	[وب-إنج 10]
31	216,091	528447...746093	65,050	880128...278327	130,100	000000001985-09-01-00001 سبتمبر 1985		اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP/24)	[22][وب-إنج 11]
32	756,839	677887...174135	227,832	731328...151616	455,663	000000001992-02-17-000017 فبراير 1992		اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل	[23]
33	859,433	142591...129498	258,716	167936...838488	517,430	000000001994-01-04-00004 يناير 1994		اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray C90)	[وب-إنج 12]
34	1,257,787	366527...412245	378,632	704128...849732	757,263	000000001996-09-03-00003 سبتمبر 1996		اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray T94)	[وب-إنج 13]
35	1,398,269	315711...814717	420,921	375616...331882	841,842	000000001996-11-13-000013 نوفمبر 1996	GIMPS / جويل ارمنغود	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz	[وب-إنج 14]
36	2,976,221	201151...623340	895,932	462976...194276	1,791,864	000000001997-08-24-000024 أغسطس 1997	GIMPS / جوردون سبنس	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz	[وب-إنج 15]
37	3,021,377	694271...127411	909,526	457856...811686	1,819,050	000000001998-01-27-000027 يناير 1998	GIMPS / رولاند كلاركسون	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz	[وب-إنج 16]
38	6,972,593	193791...437075	2,098,960	572736...955176	4,197,919	000000001999-06-01-00001 يونيو 1999	GIMPS / نيان هاجراتوالا	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz	[وب-إنج 17]
39	13,466,917	259071...924947	4,053,946	021056...427764	8,107,892	000000002001-11-14-000014 نوفمبر 2001	GIMPS / مايكل كاميرون	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz	[وب-إنج 18]
40	20,996,011	682047...125976	6,320,430	896128...793508	12,640,858	000000002003-11-17-000017 نوفمبر 2003	GIMPS / مايكل شيفر	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz	[وب-إنج 19]
41	24,036,583	969407...299410	7,235,733	950528...448233	14,471,465	000000002004-05-15-000015 مايو 2004	GIMPS / جوش فيندلي	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz	[وب-إنج 20]
42	25,964,951	077247...122164	7,816,230	088128...746209	15,632,458	000000002005-02-18-000018 فبراير 2005	GIMPS / مارتن نواك		[وب-إنج 21]
43	30,402,457	943871...315416	9,152,052	704256...497437	18,304,103	000000002005-12-15-000015 ديسمبر 2005	GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى	[وب-إنج 22]
44	32,582,657	967871...124575	9,808,358	120256...775946	19,616,714	000000002006-09-04-00004 سبتمبر 2006			[وب-إنج 23]
45	37,156,667	220927...202254	11,185,272	480128...204534	22,370,543	000000002008-09-06-00006 سبتمبر 2008	GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب	[وب-إنج 24]
46	42,643,801	314751...169873	12,837,064	253376...144285	25,674,127	000000002009-06-04-00004 يونيو 2009[ه]	GIMPS / أود ماجنار ستريندمو	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz	[وب-إنج 25]
47	43,112,609	152511...316470	12,978,189	378816...500767	25,956,377	000000002008-08-23-000023 أغسطس 2008	GIMPS / إدسون سميث	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600	[وب-إنج 24][وب-إنج 26]
48	57,885,161	285951...581887	17,425,170	130176...169296	34,850,340	000000002013-01-25-000025 يناير 2013	GIMPS / كورتيس كوبر	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى	[وب-إنج 27]
*	71,329,547	أدنى نقطة لم يتحقَّق منها[و]
49[ز]	74,207,281	436351...300376	22,338,618	315776...451129	44,677,235	000000002016-01-07-00007 يناير 2016[ح]	GIMPS / كورتيس كوبر	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790	[وب-إنج 28][وب-عر 1]
50[ز]	77,232,917	179071...467333	23,249,425	301056...109200	46,498,850	000000002017-12-26-000026 ديسمبر 2017	GIMPS / جوناثان بيس	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600	[وب-إنج 29]
51[ز]	82,589,933	902591...148894	24,862,048	207936...110847	49,724,095	000000002018-12-07-00007 ديسمبر 2018	GIMPS / باتريك لاروش	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T	[وب-إنج 30][وب-إنج 31][وب-عر 2]
*	128,455,189	أدنى نقطة لم تُختبَر[و]
52[ز]	136,279,841	871551...881694	41,024,320	008576...388692	82,048,640	000000002024-10-12-000012 أكتوبر 2024	GIMPS / لوك ديورانت	اختبار لوكاس ليهمر / برنامج PRPLL على حاسوب بمعالج رسومي Nvidia H100[ط]	[وب-إنج 32][وب-عر 3]

أنظر أيضًا

• جدول القواسم

الملاحظات

1. فرع من الرياضيَّات يهتم بدراسة خصائص الأعداد.
2. أَتَى توثيق أوَّل أربعة أعداد تامة من قبل «نيقوماخس الجرشي» قرابة عام 100م، وكان المفهوم معروفًا لدى إقليدس في زمن كتابه «الأصول»، بما في ذلك أعداد مرسين الأولية. ومع ذلك، لا توجد سجلات تشير إلى متى جرى اكتشاف هذه الأعداد لأوَّل مرَّة.
3. قد يكون علماء الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية، مثل إسماعيل بن فلُّوس (1194 - 1239م)، قد عرفوا الأعداد التامة من الخامس إلى السابع قبل أن تُسجَّل في المصادر الأوروبِّية.[وب-إنج 8]
4. وجدت معلومات في مخطوطة مجهولة الهوية تحمل الرقم «Clm 14908»، والتي تعود إلى الفترة بين عامي 1456 و1461م، وكذلك في عمل ابن فلُّوس السابق، الذي لم يوزع على نطاق واسع.
5. M_42,643,801 أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 12 أبريل 2009، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 4 يونيو 2009 بسبب خطأ في الخادم.
6. اعتبارًا من 25 أكتوبر 2024 (2024-10-25)^[تحديث].[وب-إنج 5]
7. لم يحدث تحقق بعد يوكِّد وجود أعداد مرسين أولية غير مكتشفة تقع بين العدد ال 48 (M_57,885,161) والعدد ال 52 (M_136,279,841) في هذا الجدول، لذا فإنّ الترتيب الحالي مؤقت.
8. M_74,207,281 أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 17 سبتمبر 2015، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 7 يناير 2016 بسبب خطأ في الخادم.
9. اُكتُشاف لأوَّل مرَّة كعدد أولي محتمل باستخدام اختبار فيرما على وحدة معالجة الرسوميات Nvidia A100 في 11 أكتوبر 2024.

المراجع

فهرس المراجع

منشورات

بالعربية

1. مجمع دمشق (2018)، ص. 442.
2. مجمع دمشق (2018)، ص. 520.
3. سترويك (2018)، ص. 122.
4. هيجنز (2009)، ص. 93-96.
5. هيجنز (2017)، ص. 33-35.
6. إلويس (2018)، ص. 49.

بالإنجليزية

1. Stillwell (2010), p. 40.
2. Prielipp (1970), p. 692–696.
3. Wagstaff (1983), p. 385-397.
4. Pomerance (1981), p. 97–105.
5. Ochem (2012), p. 1869–1877.
6. Tattersall (1999), p. 131–134.
7. Smith (1925), p. 21.
8. Powers (1911), p. 195-197.
9. Love (1914), p. iv-xl.
10. Lucas (1876), p. 165–167.
11. Mathematics of Computation (1952a), p. 58.
12. Mathematics of Computation (1952b), p. 204–205.
13. Mathematics of Computation (1953), p. 67–72.
14. Riesel (1958), p. 60.
15. Hurwitz (1962), p. 249–251.
16. Gillies (1964), p. 93–97.
17. Tuckerman (1971), p. 2319–2320.
18. Noll (1980), p. 1387.
19. Slowinski (1982), p. 15-17.
20. Mathematical Intelligencer (1983), p. 47.
21. [a] Peterson (1988), p. 85.
    [b] Colquitt (1991), p. 867.
    
22. Peterson (1985), p. 199.
23. Maddox (1992), p. 283.

بالفرنسية

1. Académie impériale (1887), p. 532–533.

الوب

بالعربية

1. "اكتشاف أكبر عددٍ أوّلي حتى الآن من 22 مليون رقم". ناسا بالعربي. 29 يناير 2016. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
2. راغب بكريش (28 سبتمبر 2018). "اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة: فريق تطوعي يكتشف عددًا أوليًا جديدًا بميزات نادرة". المحطة. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
3. أمنية سعيد (23 أكتوبر 2024). "اكتشاف عدد أولي جديد يتكون من 41 مليون رقم.. «حطم الأرقام القياسية»". الوطن. مؤرشف من الأصل في 2024-11-15. اطلع عليه بتاريخ 2024-10-24.

بالإنجليزية

1. Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-03-11. Retrieved 2024-08-19.
2. Chris K. Caldwell. "If 2^n-1 is prime, then so is n". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-07-30. Retrieved 2024-08-19.
3. Chris K. Caldwell. "Characterizing all even perfect numbers". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-02-18. Retrieved 2024-08-19.
4. Chris K. Caldwell. "Heuristics Model for the Distribution of Mersennes". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-08-20. Retrieved 2024-08-19.
5. "GIMPS Milestones Report". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-03-08. Retrieved 2024-08-19.
6. [a] "List of Known Mersenne Prime Numbers". .Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-03-11. Retrieved 2024-08-20.
   [b] Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-06-29. Retrieved 2024-08-20.
   [c] Chris K. Caldwell. "The Largest Known prime by Year: A Brief History". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-04-29. Retrieved 2024-08-20.
   [d] Landon Curt Noll. "Known Mersenne Primes" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-06-29. Retrieved 2024-08-20.
   
7. David E. Joyce. "Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36". mathcs.clarku.edu (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
8. John J. O'Connor; Edmund F. Robertson. "Perfect numbers". School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews (بالإنجليزية). Archived from the original on 2021-11-16. Retrieved 2024-08-20.
9. Chris K. Caldwell. "Modular restrictions on Mersenne divisors". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-02-18. Retrieved 2024-08-20.
10. "Number is largest prime found yet". The Globe and Mail (بالإنجليزية). 24 Sep 1983. Archived from the original on 2024-08-22. Retrieved 2024-08-21.
11. Lee Dembart (17 Sep 1985). "Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number". Los Angeles Times (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-21.
12. "Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer". PR Newswire (بالإنجليزية). 10 Jan 1994. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-21.
13. [a] Chris K. Caldwell. "A Prime of Record Size! 2^1257787-1". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-22. Retrieved 2024-08-21.
    [b] Dan Gillmor (3 Sep 1996). "Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery". Gale Academic OneFile (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-23.
    
14. "GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 2^1,398,269-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 12 Nov 1996. Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-22.
15. "GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 2^2,976,221-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 1 Sep 1997. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
16. "GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 2^3,021,377-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 2 Feb 1998. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
17. "GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 2^6,972,593-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 30 Jun 1999. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-22.
18. "GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 2^13,466,917-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 6 Dec 2001. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
19. "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 2^20,996,011-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 2 Feb 2003. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
20. "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2^24,036,583-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 28 May 2004. Archived from the original on 2024-08-24. Retrieved 2024-08-22.
21. "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2^25,964,951-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 27 Feb 2005. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
22. "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2^30,402,457-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 24 Dec 2005. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
23. "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2^32,582,657-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 11 Sep 2006. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-22.
24. "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2^43,112,609-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 15 Sep 2008. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
25. "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime". Mersenne Research, Inc. 12 أبريل 2009. مؤرشف من الأصل في 2024-08-26. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
26. [a] Thomas H. Maugh II (27 Sep 2008). "Rare prime number found". Los Angeles Times (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
    [b] Edson Smith. "The UCLA Mersenne Prime". UCLA Mathematics (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-22.
    
27. [a] "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 5 Feb 2013. Archived from the original on 2024-08-24. Retrieved 2024-08-22.
    [b] Bob Yirka (6 Feb 2013). "University professor discovers largest prime number to date". Phys.org (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
    
28. [a] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 19 Jan 2016. Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-23.
    [b] "Largest known prime number discovered in Missouri". BBC news (بالإنجليزية). 20 Jan 2016. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-23.
    
29. [a] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 3 Jan 2018. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
    [b] Evelyn Lamb (4 Jan 2018). "Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long". Slate (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
    
30. "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 21 Dec 2018. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
31. Joe Palca (21 Dec 2018). "The World Has A New Largest-Known Prime Number". National Public Radio (NPR) (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
32. "Mersenne Prime Number discovery - 2136279841-1 is Prime!". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-12-05. Retrieved 2024-10-24.

بالفرنسية

1. Leonhard Euler (1772). "Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318". Scholarly Commons (بالفرنسية). Archived from the original on 2024-07-26. Retrieved 2024-08-20.

معلومات المراجع

المقالات المحكمة

بالإنجليزية

• R. E. Powers (1911). "The Tenth Perfect Number". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 18 (11): 195. DOI:10.2307/2972574. ISSN:0002-9890. JSTOR:2972574. OCLC:5555826488. QID:Q56051141.
• A. E. H. Love (1914). "Records of Proceedings at Meetings". Proceedings of the London Mathematical Society (بالإنجليزية). S2-13 (1): iv–xl. DOI:10.1112/PLMS/S2-12.1.1-S. ISSN:0024-6115. OCLC:6907722076. QID:Q130023907.
• "Notes". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 6 (37): 58–61. 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. ISSN:0025-5718. OCLC:5581303426. QID:Q130045309.
• "Notes". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 6 (39): 204–205. 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. ISSN:0025-5718. OCLC:5581304959. QID:Q130045824.
• "Notes". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 7 (41): 67–72. 1953. DOI:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. ISSN:0025-5718. OCLC:4636715851. QID:Q130046183.
• Hans Riesel (1958). "A New Mersenne Prime". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 12: 60. DOI:10.1090/S0025-5718-58-99282-2. ISSN:0025-5718. OCLC:5581304136. QID:Q129993822.
• Alexander Hurwitz (1962). "New Mersenne primes". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 16 (78): 249–249. DOI:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. ISSN:0025-5718. OCLC:6066969626. S2CID:122059980. QID:Q67186255.
• Donald B. Gillies (1964). "Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 18 (85): 93. DOI:10.2307/2003409. ISSN:0025-5718. JSTOR:2003409. OCLC:6066967027. Zbl:0121.28305. QID:Q59443120.
• Samuel S. Wagstaff, Jr. (1983). "Divisors of Mersenne numbers". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 40 (161): 385–397. DOI:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. ISSN:0025-5718. OCLC:5581332673. Zbl:0507.10005. QID:Q106153851.
• Bryant Tuckerman (1971). "The 24th mersenne prime". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (بالإنجليزية). 68 (10): 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. DOI:10.1073/PNAS.68.10.2319. ISSN:0027-8424. OCLC:9985962915. PMC:389411. PMID:16591945. S2CID:28452249. Zbl:0224.10006. QID:Q37487761.
• Landon Curt Noll (1980). "The 25th and 26th Mersenne Primes". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 35 (152): 1387–1390. DOI:10.2307/2006405. ISSN:0025-5718. JSTOR:2006405. OCLC:5545283334. Zbl:0443.10005. QID:Q129915067.
• Carl Pomerance (1981). "Recent developments in primality testing". The Mathematical Intelligencer (بالإنجليزية). 3: 97–105. DOI:10.1007/BF03022861. ISSN:0343-6993. OCLC:5653677163. S2CID:121750836. Zbl:0476.10004. QID:Q129920587.
• David Slowinski (1982). "Searching for the 27th Mersenne prime" (PDF). Cray Channels (بالإنجليزية). 4 (1): 15–17. QID:Q129985105.
• "Announcements: A Call for Open Problems for Computer Solution". The Mathematical Intelligencer (بالإنجليزية). 5: 47. 1983. DOI:10.1007/BF03023619. ISSN:0343-6993. OCLC:4648310359. QID:Q129943576.
• Robert W. Prielipp (1970). "Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers". The Mathematics Teacher (بالإنجليزية). 63 (8): 692–696. DOI:10.5951/MT.63.8.0692. ISSN:0025-5769. JSTOR:27958492. OCLC:425383525. QID:Q129903643.
• I. Peterson (1985). "Prime Time for Supercomputers". Science News (بالإنجليزية). 128 (13): 199. DOI:10.2307/3970245. ISSN:0036-8423. JSTOR:3970245. OCLC:6003989012. QID:Q129984908.
• I. Peterson (1988). "Priming for a Lucky Strike". Science News (بالإنجليزية). 133 (6): 85. DOI:10.2307/3972461. ISSN:0036-8423. JSTOR:3972461. OCLC:6003974658. QID:Q129931946.
• W. N. Colquitt; L. Welsh (1991). "A New Mersenne Prime". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 56 (194): 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. DOI:10.2307/2008415. ISSN:0025-5718. JSTOR:2008415. OCLC:5555774832. Zbl:0717.11002. QID:Q56226591.
• John Maddox (1992). "The endless search for primality". Nature (بالإنجليزية). 356 (6367): 283–283. Bibcode:1992Natur.356..283M. DOI:10.1038/356283A0. ISSN:1476-4687. OCLC:8522130494. S2CID:4327045. QID:Q60063696.
• Pascal Ochem; Michaël Rao (2012). "Odd perfect numbers are greater than $10^{1500}$". Mathematics of Computation (بالإنجليزية). 81 (279): 1869–1877. DOI:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN:0025-5718. OCLC:9989943547. Zbl:1263.11005. QID:Q55898614.

بالفرنسية

• Édouard Lucas (1876). "Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche dela loi de distribution des nombres premiers". Comptes rendus de l’Académie des sciences (بالفرنسية). 82: 165–167. ISSN:0249-6321. QID:Q130054183.
• "Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine". Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (بالفرنسية). 31–32: 532–533. 1887. QID:Q130023638.

الكتب

بالعربية

• بيتر هيجنز (2009)، الرياضيات للفضوليين، ترجمة: انتصارات محمد حسن الشبكي، مراجعة: بيومي إبراهيم بيومي، هبة عبد العزيز غانم، مؤسسة هنداوي، QID:Q129905106
• بيتر هيجنز (2017). الأعداد: مقدمة قصيرة جدًّا. ترجمة: أحمد شكل. مراجعة: إيمان عبد الغني نجم، انتصارات محمد حسن الشبكي. مؤسسة هنداوي. ISBN:978-1-5273-1289-0. QID:Q129915664.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
• ديرك جان سترويك (2018). موجز تاريخ الرياضيات. ترجمة: عبد اللطيف الصديقي (ط. 1). ISBN:978-9933-18-007-2. OCLC:1164396407. QID:Q130093633.
• ريتشارد إلويس (2018). 1001 فكرة عن الرياضيات: الأعداد - الهندسة - الجبر - علم الإحصاء. ترجمة: شريف السيد عبد الله؛ محمد فؤاد؛ وائل خضير. مراجعة: سيد علي إبراهيم. المجموعة العربية للتدريب والنشر. ISBN:978-977-722-113-9. OCLC:1081315550. QID:Q130120821.

بالإنجليزية

• David Eugene Smith (1925), History of mathematics (بالإنجليزية), Boston: Ginn & Company, OCLC:44646908, QID:Q129952403
• James Joseph Tattersall (1999). Elementary number theory in nine chapters (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-58531-6. OCLC:57301237. QID:Q129928935.
• John Stillwell (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (3rd ed.). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN:978-1-4419-6053-5. OCLC:663096669. OL:24847320M. Zbl:1207.01003. QID:Q56656820.

وصلات خارجية

• القائمة على موقع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت، بالقيم الكاملة للأعداد الكبيرة نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين. (بالإنجليزية)
• تقرير فنِّي عن تاريخ أعداد مرسين، بقلم جاي هاوورث نسخة محفوظة 2021-10-13 على موقع واي باك مشين. (بالإنجليزية)
• البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟
• ما هو أكبر عدد أولي؟
• العدد الوحش: أكبر عدد أولي مكتشف حتى الآن!