دالة محدبة

دالة محدبة

معلومات عامة

صنف فرعي من	quasiconvex function ^(en) دالة مستمرة[1]
جزء من	concave and convex functions ^(en)
تعريف الصيغة	${\displaystyle \forall c,d\in (a,b),t\in [0,1]:f((1-t)c+td)\leq (1-t)f(c)+tf(d)}$[2]
الرموز في الصيغة	${\displaystyle f}$
ممثلة بـ	متباينة ينسن
النقيض	دالة مقعرة

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

الدالة بالأزرق هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية: كل مستقيم يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة يقع فوق الرسم البياني للدالة.

تدعى دالة رياضية (بمتغير واحد) دالة محدّبة[3] (بالإنجليزية: Convex function)‏ في مقطع ما إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة في هذا المقطع يقع فوق الرسم البياني للدالة نفسها.[4][5][6] على سبيل المثال فإنّ الدالّة ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$ هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية، كما يظهر في الرسم. وتجدر الإشارة إلى أنّ مفهوم التحدب والتقعر قد يكون عكس المفهوم اللغوي أو التصويري (فقد يظن البعض أن شكل الرسم البياني هو مقعر وليس محدبا).

• الدالة المقعرة هي دالة محدبة معكوسة، بمعني أن قمتها تكون إلى أعلى في اتجاه المحور الرأسي ومفتوحة من أسفل، في شكل الجرس.

بالإمكان تطوير تعريف الدالة المحدبة ليشمل دوالا بأكثر من متغير واحد، بل وأي دالة ذات قيم حقيقية معرّفة في نطاق يشكل مجموعة محدبة في فضاء اتجاهي ما.

للدوال المحدّبة استعمالات عديدة وهامّة، خاصة في مجالات التحليل الدالي والاستمثال المحدب، وتظهر في عدة متراجحات مهمّة، منها متراجحة ينسن.

تعريف

تدعى الدالة ذات القيم الحقيقية ${\displaystyle f\left(x\right)}$ دالة محدبة إذا تحقّق لكل نقطتين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ في نطاق الدالة C ولكل ${\displaystyle \lambda }$ في المجال [0,1] ما يلي:

${\displaystyle f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leq \lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)}$

هذا وتدعى الدالة ${\displaystyle f}$ محدبة تمامًا إذا تحقّق:

${\displaystyle f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)<\lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)}$

لكل ${\displaystyle \lambda }$ في المجال (0,1) ولكل ${\displaystyle x\leq y}$.

أمّا إذا كانت الدالة ${\displaystyle -f\left(x\right)}$ هي دالة محدبّة فتدعى الدالة ${\displaystyle \ f}$ دالة مقعرة.

ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت ${\displaystyle z=\lambda x+\left(1-\lambda \right)y}$ هي نقطة تقع بين x وy (تذكير: ${\displaystyle \lambda \in \left[0,1\right]}$)، فإنّ:

${\displaystyle g\left(z\right)=\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)}$،

حيث أنّ ${\displaystyle g}$ هي معادلة الخط المستقيم (أي ${\displaystyle g\left(x\right)=f\left(x\right)}$ و${\displaystyle g\left(y\right)=f\left(y\right)}$).

خواص تحليلية

• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: ${\displaystyle m(x)=\operatorname {max} \{f(x),g(x)\}}$ و${\displaystyle h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)}$ هما محدبتان كذلك؛
• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، وكانت ${\displaystyle g}$ دالة غير تنازلية، فإنّ ${\displaystyle h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}$؛
• تحدّب الدالة لا يتغير إثر تحويلات أفينيّة على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت f هي دالة محدبة وكان ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$، فإنّ ${\displaystyle g\left(y\right)=f\left(Ay+b\right)}$ هي دالة محدبة، حيث ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$، ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$، ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$؛

أمثلة

• الدالة ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$ هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل x: ${\displaystyle f\,''\left(x\right)=2>0}$.
• إنّ المشتق الثاني للدالة ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{3}}$ هو ${\displaystyle 6x}$ أي أنّه غير سالب في المجموعة ${\displaystyle \{x\geq 0\}}$، ولذا فإنّ f محدّبة هناك، وغير موجب في المجموعة ${\displaystyle \{x\leq 0\}}$، أي أنّ الدالة مقعرة هناك.

انظر أيضًا

• دالة مقعرة
• مجموعة محدبة
• متراجحة ينسن
• وسيط أعظمي

المراجع

1. مذكور في: ماثوورلد. مُعرِّف موقع "عالَم الرياضيات"(MathWorld): ConvexFunction. لغة العمل أو لغة الاسم: الإنجليزية.
2. Digital Library of Mathematical Functions ID: 1.4.E38.
3. معجم البيانات والذكاء الاصطناعي (PDF) (بالعربية والإنجليزية)، الهيئة السعودية للبيانات والذكاء الاصطناعي، 2022، ص. 54، QID:Q111421033
4. H. Bauschke and P. L. Combettes (2011). Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. Springer. ص. 144. ISBN:978-1-4419-9467-7.
5. "If f is strictly convex in a convex set, show it has no more than 1 minimum". Math StackExchange. 21 مارس 2013. مؤرشف من الأصل في 2019-12-19. اطلع عليه بتاريخ 2016-05-14.
6. Kingman، J. F. C. (1961). "A Convexity Property of Positive Matrices". The Quarterly Journal of Mathematics. ج. 12: 283–284. DOI:10.1093/qmath/12.1.283.