Teorema Bohr–Mollerup

Dalam analisis matematika, teorema Bohr–Mollerup adalah sebuah teorema yang dibuktikan oleh matematikawan Denmark Harald Bohr dan Johannes Mollerup. Teoremanya mencirikan fungsi gamma, didefinisikan untuk ${\displaystyle x>0}$ oleh

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

sebagai fungsi hanya ${\displaystyle f}$ pada interval ${\displaystyle x>0}$ yang secara bersamaan memiliki tiga sifat

• ${\displaystyle f(1)=1}$, dan
• ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ untuk x > 0 dan
• ${\displaystyle f}$ adalah cembung secara logaritmik.

Pembahasan teorema ini ada dalam buku Artin The Gamma Function , yang telah dicetak ulang oleh AMS dalam koleksi tulisan Artin.

Teorema ini pertama kali diterbitkan dalam buku teks tentang analisis kompleks, seperti yang menurut Bohr dan Mollerup telah dibuktikan.

Pernyataan

Teorema Bohr–Mollerup.     ${\displaystyle \Gamma (x)}$ adalah satu-satunya fungsi yang memenuhi ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ dengan ${\displaystyle \log(f(x))}$ cembung dan juga dengan ${\displaystyle f(1)=1}$.

Bukti

Misalkan ${\displaystyle \Gamma (x)}$ adalah fungsi dengan sifat asumsi yang ditetapkan di atas: ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ dan ${\displaystyle \log(\Gamma (x))}$ adalah cembung, dan ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$. Dari ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$, kita bisa membangun:

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

Tujuan dari ketentuan bahwa ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ memaksa sifat ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ untuk menduplikasi faktorial dari bilangan bulat sehingga kita bisa menyimpulkan sekarang bahwa ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ jika ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dan jika ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ada sama sekali. Karena hubungan kita untuk ${\displaystyle \Gamma (x+n)}$, jika kita bisa mengerti sepenuhnya ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk ${\displaystyle 0<x\leq 1}$, maka kita memahami ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk semua nilai ${\displaystyle x}$. Kemiringan dari sebuah garis menghubungkan dua titik ${\displaystyle (x_{1},\log(\Gamma (x_{1})))}$ dan ${\displaystyle (x_{2},\log(\Gamma (x_{2})))}$, sebut saja ${\displaystyle S(x_{1},x_{2})}$, meningkat secara monoton di setiap argumen dengan ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ karena kita memiliki ${\displaystyle \log(\Gamma (x))}$ yang ditetapkan adalah cembung. Dengan demikian, kita tahu bahwaː

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{untuk semua }}x\in (0,1].}$

Setelah menyederhanakan menggunakan berbagai sifat-sifat logaritma, dan kemudian mengeksponesiasikan (yang mempertahankan pertidaksamaan karena fungsi eksponensial meningkat secara monotonik) kita memperoleh:

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!}$.

Dari kerja sebelumnya, ini berkembang menjadi:

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!}$,

dan juga:

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)}$.

Barisan terakhir adalah pernyataan yang kuat. Khususnya, itu benar untuk semua nilai ${\displaystyle n}$. Artinya, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ tidak lebih besar daripada sisi kanan untuk setiap pilihan ${\displaystyle n}$ dan juga, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ tidak kurang dari sisi kiri untuk setiap pilihan ${\displaystyle n}$. Setiap pertidaksamaan tunggal berdiri sendiri dan dapat diartikan sebagai pernyataan independen. Karena fakta ini, kita akan bebas untuk memilih nilai-nilai ${\displaystyle n}$ yang berbeda untuk sisi kanan dan sisi kiri. Khususnya, jika kita menetapkan ${\displaystyle n}$ untuk sisi kanan dan memilih ${\displaystyle n+1}$ untuk sisi kiri, kita mendapatkan:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Terbukti dari baris terakhir ini bahwa suatu fungsi diapit di antara dua ekspresi,suatu teknik analisis umum untuk membuktikan berbagai hal seperti adanya suatu limit, atau kekonvergenan. Misalkan ${\displaystyle n\to \infty }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

jadi sisi kiri dari pertidaksamaan terakhir didorong untuk menyamakan sisi kanan dalam limit dan:

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

diapit di antaranya. Itu hanya bisa berarti bahwa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x)}$.

Dalam konteks pada bukti ini, ini berarti bahwa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

memiliki tiga sifat-sifat tertentu milik ${\displaystyle \Gamma (x)}$. Juga, buktinay menyediakan sebuah ekspresi yang spesifik untuk ${\displaystyle \Gamma (x)}$. Dan bagian penting terakhir dari pembuktiannya adalah mengingat bahwa limit dari sebuah urutan tersebut tunggal. Ini berarti bahwa untuk setiap pilihan ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ hanya satu kemungkinan bilangan ${\displaystyle \Gamma (x)}$ bisa ada. Oleh karena itu, tidak ada fungsi lain dengan semua sifat-sifat yang ditetapkan ${\displaystyle \Gamma (x)}$. Ujung longgar yang tersisa adalah pertanyaan untuk membuktikan bahwa ${\displaystyle \Gamma (x)}$ masuk akal untuk semua ${\displaystyle x}$ dimana:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

ada. Masalahnya adalah bahwa pertidaksamaan ganda pertama kita:

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

dibangun dengan batas ${\displaystyle 0<x\leq 1}$. Jika, katakan, ${\displaystyle x>1}$ maka faktanya bahwa ${\displaystyle S}$ meningkat secara monotonik akan membuat ${\displaystyle S(n+1,n)<S(n+x,n)}$, bertentangan dengan pertidaksamaan di mana seluruh bukti dibangun. Namun,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

yang mendemonstrasikan bagaimana melakukan bootstrap ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk semua nilai ${\displaystyle x}$ dimana limit didefinisikan.

Lihat pula

• Teorema Wielandt

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Bohr–Mollerup theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Bohr–Mollerup Theorem". MathWorld. 
• Proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
• Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem, PlanetMath.org.
• Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston. 
• Rosen, Michael (2006). Exposition by Emil Artin: A Selection. American Mathematical Society. 
• Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen.  (Textbook in Complex Analysis)