Di dalam matematika, struktur pada sebuah himpunan, atau lebih umumnya tipe, terdiri dari objek-objek matematika tambahan yang dalam beberapa cara melekat (atau berhubungan) dengan himpunan, membuatnya lebih mudah untuk memvisualkan atau bekerja dengannya, atau memberkati koleksi dengan makna atau keberartian/signifikansi.
Daftar sebagian dari struktur-struktur yang mungkin adalah ukuran, struktur aljabar (grup, lapangan, dst.), Topologi, struktur metrik (geometri), urutan, relasi ekivalen, struktur diferensial, dan kategori.
Kadang-kadang, sebuah himpunan diberkati dengan lebih dari satu struktur sekaligus; ini membolehkan para matematikawan mempelajarinya secara lebih kaya. Misalnya, urutan menginduksi topologi. Contoh lain, jika suatu himpunan memiliki topologi dan merupakan grup, dan kedua-dua struktur itu berhubungan dalam suatu cara tertentu, maka himpunan itu menjadi grup topologi.
Pemetaan antara himpunan-himpunan yang mengawetkan struktur (sehingga struktur-struktur yang ada dalam domain dipetakan ke struktur-struktur ekivalen dalam kodomain-nya) merupakan kepentingan khusus dalam banyak lapangan matematika. Misalnya, homomorfisma, yang mengawetkan struktur aljabar; homeomorfisma, yang mengawetkan struktur topologi; dan difeomorfisma, yang mengawetkan struktur diferensial.
Nicolas Bourbaki menganjurkan sebuah penjelasan konsep "struktur matematika" di dalam bukunya, "Teori Himpunan" (Bab 4. Struktur) dan kemudian mendefinisikannya pada basis itu, khususnya, konsep yang sangat umum dari isomorfisma.
Contoh: bilangan real
Himpunan bilangan real memiliki beberapa struktur baku:
- urutan: setiap bilangan, baik itu yang kurang maupun lebih dari setiap bilangan lainnya.
- struktur aljabar: terdapat operasi perkalian dan perjumlahan yang menjadikannya ke dalam lapangan.
- ukuran: interval-interval di sepanjang garis real memiliki panjang tertentu, yang dapat diperluas menjadi ukuran lebesgue pada banyak subhimpunan-nya.
- metrik: terdapat gagasan tentang jarak antar-titik.
- geometri: ia diperlengkapi dengan metrik dan kedataran.
- topologi: terdapat gagasan tentang himpunan terbuka.
Terdapat antarmuka di antara yang berikut ini:
- Urutannya dan, secara independen, struktur metriknya menginduksi topologinya.
- Urutannya dan struktur aljabarnya menjadikannya ke dalam lapangan terurut.
- Struktur aljabarnya dan topologinya menjadikannya ke dalam grup lie, sebuah jenis dari grup topologi.
Lihat pula
Referensi
