Sebuah tetrahedron biasa, contoh benda padat dengan simetri tetrahedral penuh
Sebuah tetrahedron reguler memiliki 12 simetri rotasi (atau orientasi-kekal), dan urutan simetri dari 24 yang termasuk transformasi menggabungkan refleksi dan rotasi.
Grup semua simetri adalah isomorfik terhadap grup S4, grup simetris dari permutasi empat objek, karena satu simetri tersebut untuk setiap permutasi simpul dari tetrahedron. Himpunan simetri kekal orientasi membentuk grup yang disebut sebagai subgrup selang-seling A4 dari S4.
Terlihat pada proyeksi stereografik tepi dari tetrakis heksahedron membentuk 6 lingkaran (atau garis radial pusat) pada bidang. Masing-masing dari 6 lingkaran ini mewakili garis cermin dalam simetri tetrahedral. Irisan/potongan lingkaran ini bertemu pada urutan 2 dan 3 titik girasi.
Sebuah tetrahedron ditempatkan 12 posisi berbeda dengan rotasi. Ini diilustrasikan atas dalam format grafik siklus, bersama dengan tepi 180° (panah biru) dan sudut 120° (panah merah) rotasi bahwa permutasi tetrahedron melalui posisi tersebut.
Dalam tetrakis heksahedron satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya meratakan himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap subset menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.
T, 332, [3,3]+, atau 23, urutan 12 - kiral atau simetri tetrahedral rotasi. Ada tiga sumbu rotasi ortogonal lipatan-2, seperti kiral simetri dihedralD2 atau 222, dengan tambahan empat sumbu lipatan-3, berpusat di antara tiga arah ortogonal. Grup isomorfik hingga A4, grup selang-seling pada 4 elemen; sebenarnya itu adalah grup permutasi genap dari empat sumbu lipatan-3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234 ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).
4 × rotasi sebesar 120° searah jarum jam (dilihat dari titik sudut): (234), (143), (412), (321)
4 × rotasi sebesar 120° berlawanan arah jarum jam (ditto)
3 × rotasi 180°
Rotasi 180°, bersama dengan identitas, dalam bentuk subgrup normal tipe Dih2, dengan grup hasil bagi tipe Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, mempertahankan orientasi.
A4 adalah grup terkecil yang menunjukkan bahwa inversi dari Teorema Lagrange tidak benar secara umum: diberikan grup hingga G dan pembagi d dari |G|, tidak ada subgrup G dengan urutan d: grup G = A4 tidak memiliki subgrup urutan 6. Meskipun itu adalah sifat untuk grup abstrak secara umum, jelas dari grup isometri simetri tetrahedral kiral: karena kiralitas, subgrup harus menjadi C6 atau D3, namun keduanya tidak berlaku.
Grup tetrahedral penuh Td dengan domain fundamental
Td, *332, [3,3] or 43m, urutan 24 – akiral atau simetri tetrahedral penuh, juga dikenal sebagai (2,3,3) grup segitiga. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, namun dengan enam bidang cermin, masing-masing melalui dua sumbu tiga kali lipat. Sumbu lipatan-2 sekarang menjadi sebagai sumbu S4 (4). Td dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S4, grup simetris pada 4 objek. Td adalah gabungan T dan himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen O \ T dengan inversi. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan.
Grup piritohedron Th dengan domain fundamentalJahitan bola voli memiliki simetri piritohedron
Th, 3*2, [4,3+] atau m3, urutan 24 – simetri piritohedral. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin melalui dua arah ortogonal. Sumbu lipatan-3 sekarang adalah sebagai S6 (3), dan simetri inversi pusat. Th isomorfik terhadap T × Z2: setiap elemen Th adalah elemen T, atau elemen yang digabungkan dengan inversi. Selain dua subgrup normal ini, ada juga subgrup normal D2h (dalam bentuk kubus), berjenis Dih2 × Z2 = Z2 × Z2 × Z2. Ini adalah produk langsung dari subgrup normal T (lihat di atas) dengan Ci. Geup hasil bagi sama seperti di atas: berjenis Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, sebagai orientasi.
Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (yang sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol keluar di garis pemisah dan menjadi lebih sempit di sana. Ini adalah subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu lipatan-3.
Kelas konjugasi Th termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan masing-masing dengan inversi:
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6[1]
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups
