Grup polihedral

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi
Cs, (*)
[ ] =
Simetri siklik
Cnv, (*nn)
[n] =
Simetri dihedral
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)

Simetri tetrahedral
Td, (*332)
[3,3] =
Simetri oktahedral
Oh, (*432)
[4,3] =
Simetri ikosahedral
Ih, (*532)
[5,3] =

Dalam geometri, grup polihedral adalah salah satu dari grup simetri dari padatan Platonis.

Grup

Ada tiga grup polihedral:

  • Grup tetrahedral urutan 12, grup simetri rotasi dari tetrahedron beraturan. Ini isomorfik untuk A4.
    • Kelas konjugasi dari T adalah:
      • identitas
      • 4 × rotasi sebesar 120°, urutan 3, cw
      • 4 × rotasi sebesar 120°, urutan 3, ccw
      • 3 × rotasi 180°, urutan 2
  • Grup oktahedral urutan 24, grup simetri rotasi kubus dan oktahedron beraturan. Ini isomorfik untuk S4.
    • Kelas konjugasi dari O adalah:
      • identitas
      • 6 × rotasi sebesar ±90° di sekitar simpul, urutan 4
      • 8 × rotasi ±120° di sekitar pusat segitiga, urutan 3
      • 3 × rotasi 180° di sekitar simpul, urutan 2
      • 6 × rotasi 180° di sekitar titik tengah tepi, urutan 2
  • Grup ikosahedral urutan 60, grup simetri rotasi dari dodecahedron beraturan dan ikosahedron beraturan. Ini isomorfik untuk A5.
    • Kelas konjugasi dari I adalah:
      • identitas
      • 12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5
      • 12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5
      • 20 × rotasi sebesar ±120°, urutan 3
      • 15 × rotasi 180°, urutan 2

Simetri lipatan menjadi 24, 48, 120 untuk grup refleksi penuh. Simetri pantulan memiliki 6, 9, dan 15 cermin. Simetri oktahedral, [4,3] dilihat sebagai gabungan dari 6 simetri tetrahedral [3,3] cermin, dan 3 cermin simetri dihedral Dih2, [2,2 ]. Simetri piritohedral adalah penggandaan lain dari simetri tetrahedral.

Kelas konjugasi simetri tetrahedral penuh, Td≅S4, adalah:

  • identitas
  • 8 × rotasi sebesar 120°
  • 3 × rotasi 180°
  • 6 × refleksi dalam bidang melalui dua sumbu rotasi
  • 6 × rotorefleksi sebesar 90°

Kelas konjugasi simetri piritohedral, Th, termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan dengan inversi:

  • identitas
  • 8 × rotasi 120°
  • 3 × rotasi 180°
  • inversi
  • 8 × rotorefleksi sebesar 60°
  • 3 × refleksi dalam bidang

Kelas konjugasi dari grup oktahedral penuh, Oh≅S4 × C2, adalah:

  • inversion
  • 6 × rotorefleksi sebesar 90°
  • 8 × rotorefleksi sebesar 60°
  • 3 × refleksi pada bidang tegak lurus terhadap sumbu lipatan-4
  • 6 × refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu lipatan-2

Kelas konjugasi simetri ikosahedral penuh, Ih≅A5 × C2, sertakan juga dengan inversi:

  • inversi
  • 12 × rotorefleksi sebesar 108°, urutan 10
  • 12 × rotorefleksi sebesar 36°, urutan 10
  • 20 × rotorefleksi sebesar 60 °, urutan 6
  • 15 × refleksi, urutan 2

Grup polihedral kiral

Grup polihedral kiral
Nama
(Orb.) 		Notasi
Coxeter 		Urutan Struktur
abstrak 		Rotasi
Titik
#valensi 		Diagram
Orthogonal Stereografis
T
(332)
[3,3]+		 12 A4 43
32
Th
(3*2)

[4,3+]		 24 A4×2 43
3*2
O
(432)
[4,3]+		 24 S4 34
43
62
I
(532)
[5,3]+		 60 A5 65
103
152		 120px

Grup polihedral penuh

Grup polihedral penuh
Weyl
Schoe.
(Orb.) 		Notasi
Coxeter 		Urutan Struktur
abstrak 		Bilangan
Coxeter
(h) 		Cermin
(m) 		Diagram cermin
Ortogonal Stereografis
A3
Td
(*332)

[3,3]		 24 S4 4 6
B3
Oh
(*432)

[4,3]		 48 S4×2 8 3
6
H3
Ih
(*532)

[5,3]		 120 A5×2 10 15

Lihat pula

Referensi

Pranala luar