Rumus Klein–Nishina

Rumus Klein–Nishina adalah rumus yang menentukan distribusi sudut foton yang tersebar pada partikel statis dan bermuatan (hamburan Compton). Rumus Klein–Nishina memberikan penampang lintang diferensial dari foton yang tersebar dari bebas tunggal elektron dalam rangka terendah elektrodinamika kuantum. Pada frekuensi rendah (misalnya, cahaya) ini menghasilkan hamburan Thomson; pada frekuensi yang lebih tinggi (misalnya, sinar-x dan sinar gamma) ini menghasilkan hamburan Compton.^[1]

Untuk insiden energi foton yang tidak terpolarisasi ${\displaystyle E_{\gamma }}$, penampang diferensial adalah:^[2]

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}r_{c}^{2}P(E_{\gamma },\theta )^{2}[P(E_{\gamma },\theta )+P(E_{\gamma },\theta )^{-1}-\sin ^{2}(\theta )]}$

dimana ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ adalah penampang diferensial, ${\displaystyle d\Omega }$ adalah elemen sudut padat yang sangat kecil, ${\displaystyle \alpha }$ adalah konstanta struktur halus (~ 1/137,04), ${\displaystyle \theta }$ adalah sudut hamburan; ${\displaystyle r_{c}=\hbar /m_{e}c}$ adalah panjang gelombang Compton yang "tereduksi" dari elektron (~ 0,38616 pm); ${\displaystyle m_{e}}$ adalah massa elektron (~511 ke V${\displaystyle /c^{2}}$); dan ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )}$ adalah rasio energi foton setelah dan sebelum tumbukan:

${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )={\frac {1}{1+(E_{\gamma }/m_{e}c^{2})(1-\cos \theta )}}={\frac {\lambda }{\lambda '}}}$

Perhatikan bahwa hasil ini juga dapat dinyatakan dalam jari-jari elektron klasik ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

Meskipun kuantitas klasik ini tidak terlalu relevan dalam elektrodinamika kuantum, mudah untuk dipahami: ke arah depan (untuk ${\displaystyle \theta }$ ~ 0), foton menghamburkan elektron seolah-olah elektron itu ada ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$ (~2.8179 fm) dalam dimensi linier, dan ${\displaystyle r_{e}^{2}}$ (~ 7.9406x10⁻³⁰ m² atau 79.406 mb) dalam ukuran.

Jika foton yang masuk terpolarisasi, foton yang tersebar tidak lagi isotropik sehubungan dengan sudut azimut. Untuk foton terpolarisasi linier yang tersebar dengan elektron bebas diam, penampang diferensial diberikan oleh:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

dimana ${\displaystyle \phi }$ adalah sudut hamburan azimut. Perhatikan bahwa penampang diferensial yang tidak terpolarisasi dapat diperoleh dengan melakukan rata-rata ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$.

Rumus Klein–Nishina diturunkan pada tahun 1928 oleh Oskar Klein dan Yoshio Nishina, dan merupakan salah satu hasil pertama yang diperoleh dari studi elektrodinamika kuantum. Pertimbangan efek mekanis relativistik dan kuantum memungkinkan pengembangan persamaan yang akurat untuk hamburan radiasi dari elektron target. Sebelum penurunan ini, penampang elektron secara klasik diturunkan oleh fisikawan Inggris dan penemu elektron, JJ Thomson. Namun, percobaan hamburan menunjukkan penyimpangan yang signifikan dari hasil yang diprediksi oleh penampang Thomson. Eksperimen hamburan lebih lanjut sesuai dengan prediksi rumus Klein-Nishina.

Perhatikan bahwa jika ${\displaystyle E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2}}$, ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )\rightarrow 1}$ dan rumus Klein–Nishina tereduksi menjadi ekspresi Thomson klasik.

Energi akhir dari foton yang tersebar, ${\displaystyle E_{\gamma }'}$, hanya bergantung pada sudut hamburan dan energi foton asli, sehingga dapat dihitung tanpa menggunakan rumus Klein–Nishina:

${\displaystyle E_{\gamma }'(E_{\gamma },\theta )=E_{\gamma }\cdot P(E_{\gamma },\theta )\,}$

• Radiasi sinkrotron
• Yoshio Nishina
• Oskar Klein

• Evans, R. D. (1955). The Atomic Nucleus. New York: McGraw-Hill. hlm. 674–676. OCLC 542611. 
• Melissinos, A. C. (1966). Experiments in Modern Physics. New York: Academic Press. hlm. 252–265. ISBN 0-12-489850-5. 
• Klein, O.; Nishina, Y. (1994). "On the Scattering of Radiation by Free Electrons According to Dirac's New Relativistic Quantum Dynamics". Dalam Ekspong, Gösta. The Oskar Klein Memorial Lectures, Vol. 2: Lectures by Hans A. Bethe and Alan H. Guth with Translated Reprints by Oskar Klein. Singapore: World Scientific. hlm. 113–139.