Integral Berezin

Dalam fisika matematis, Integral Berezin, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai Integral Grassmann, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior). Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang dimana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$ dari bidang bilangan kompleks. (Urutan dari generator ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$ tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

Satu variabel

Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann ${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$ didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

...dimana kita mendefinisikan...

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

sehinggaː

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$ merupakan fungsi yang paling umum dari ${\displaystyle \theta }$ karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi ${\displaystyle f(\theta )}$ tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

Beberapa variabel

Integral Berezin dari ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ didefinisikan sebagai fungsi linear unik ${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\mathrm {d} \theta }$ dengan sifat-sifat berikut.

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

untuk setiap ${\displaystyle f\in \Lambda ^{n}}$, dimana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}}$ berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya[1]

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}$

Rumus

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial ${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$ diatur menjadi ${\displaystyle g(\theta ')}$, dimana ${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$, integral dari ${\displaystyle f=g(\theta ')}$ menghilang. Integral dengan terhadap ${\displaystyle \theta _{2}}$ dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

Perubahan dari variael Grassmann

Misalkan ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n}$, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$. Matriks Jacobian bisa ditulis

dimana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}}$ merujuk turunan sebelah kanan (${\displaystyle {\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{2}}}=\theta _{1},\;{\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{1}}}=-\theta _{2}}$). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

${\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}$

Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil

Definisi

Sekarang pertimbangkan aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ dari fungsi dari variabel komutatif real ${\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{m}}$ dan variabel antikomutatif ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$ (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi ${\displaystyle (m|n)}$). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ adalah sebuah fungsi dari variabel ${\displaystyle m}$ genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel ${\displaystyle n}$ ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ adalah sebuah fungsi dari argumen ${\displaystyle x}$ yang bervariasi di himpunan terbuka ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$ dengan nilai di aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}}$. Integral Berezin adalah

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}$

Perubahan variabel genap dan ganjil

Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n}$, dimana ${\displaystyle x_{i}}$ genap dan ${\displaystyle \theta _{j}}$ adalah polinomial ganjil dari ${\displaystyle \xi }$ bergantung pada variabel genap ${\displaystyle y}$. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

dimana setiap turunan genap ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}$ komuter dengan semua anggota dari aljabar ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$, turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal ${\displaystyle A={\frac {\partial x}{\partial y}}}$ dan ${\displaystyle D={\frac {\partial \theta }{\partial \xi }}}$ adalah genap dan entri dari blok off-diagonal ${\displaystyle B={\frac {\partial x}{\partial \xi }}}$, ${\displaystyle C={\frac {\partial \theta }{\partial y}}}$, dimana ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}}$ lagi berarti turunan kanan.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks ${\displaystyle \mathrm {J} }$, yang dimana fungsi genap

${\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}$

mendefinisikan ketika fungsi ${\displaystyle \det D}$ invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$. Andaikan bahwa fungsi real ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$ mendefinisikan pemetaan invertible mulus ${\displaystyle F:Y\to X}$ dari himpunan terbuka ${\displaystyle X,Y}$ dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ dan bagian linear dari ${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$ invertible untuk setiap ${\displaystyle y\in Y}$. Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}$

dimana ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} \left(\det \left({\frac {\partial x(y,0)}{\partial y}}\right)\right)}$ adalah tanda dari awalnya pemetaan ${\displaystyle F}$. Superposisi ${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$ mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$ tidak bergantung pada ${\displaystyle \xi }$. Dalam kasus umum, kita tulis ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i}}$, dimana ${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$ adalah anggota nilpoten genap dari ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ dan himpunan

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots }$,

dimana deret Taylor terbatas.

Rumus yang berguna

Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam rumus integral lintasan dari teori medan kuantumː

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \eta =\det A}$

dengan ${\displaystyle A}$ menjadi sebuah matriks ${\displaystyle n\times n}$ yang kompleks.

${\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,\mathrm {d} \theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ genap}}\\0&n{\mbox{ ganjil}}\end{cases}}}$

dengan ${\displaystyle M}$ menjadi sebuah matriks miring simetris ${\displaystyle n\times n}$ yang kompleks, dan ${\displaystyle {\text{Pf}}\ M}$ menjadi Pfaffian dari ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$, yang memenuhi ${\displaystyle ({\text{Pf}}\ M)^{2}=\det M}$.

Rumus di atas, notasi ${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n}}$ digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\left(\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right)\right]\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \eta =\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

dengan ${\displaystyle A}$ menjadi sebuah matriks ${\displaystyle n\times n}$ invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.

Sejarah

Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh Felix Berezin.[2] Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh David John Candlin[3] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov[4] (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam,[5] dan Martin.[5]

Literatur

• Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
• Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2

Lihat Pula

• Supermanifold
• Berezinian

Referensi

1. Mirror symmetry. Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. hlm. 155. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC 52374327. 
2. A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
3. D.J. Candlin (1956). "On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics". Nuovo Cimento. 4 (2): 231–239. Bibcode:1956NCim....4..231C. doi:10.1007/BF02745446. 
4. Khalatnikov, I.M. (1955). "Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov" [The Representation of Green's Function in Quantum Electrodynamics in the Form of Continual Integrals] (PDF). Journal of Experimental and Theoretical Physics (dalam bahasa Rusia). 28 (3): 633. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2021-04-19. Diakses tanggal 2020-09-14. 
5. Matthews, P. T.; Salam, A. (1955). "Propagators of quantized field". Il Nuovo Cimento. Springer Science and Business Media LLC. 2 (1): 120–134. doi:10.1007/bf02856011. ISSN 0029-6341.