Gelanggang Boolean

Dalam matematika, sebuah gelanggang Boolean R adalah gelanggang x² = x untuk semua x di R,^[1][2][3] yaitu, gelanggang yang terdiri dari elemen idempoten.^[4][5] Contohnya adalah gelanggang dari bilangan bulat modulo 2.

Setiap gelanggang Boolean menghasilkan aljabar Boolean, dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan konjungsi atau bertemu ∧, dan penambahan ring ke disjungsi eksklusif atau perbedaan simetris (bukan disjungsi ∨,^[6] dalam bentuk semigelanggang). Gelanggang Boolean dinamai menurut penemu aljabar Boolean, George Boole.

Setidaknya ada empat sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk gelanggang dan aljabar Boolean:

• Dalam aljabar komutatif notasi standarnya adalah menggunakan x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) untuk jumlah gelanggang x dan y, dan menggunakangunakan xy = x ∧ y untuk produknya.
• Dalam logika, notasi yang umum adalah menggunakan x ∧ y untuk pertemuan (sama seperti produk gelanggang) dan menggunakan x ∨ y untuk sambungan, diberikan dalam notasi gelanggang (diberikan di atas) oleh x + y + xy.
• Dalam teori himpunan dan logika, juga umum untuk menggunakan x · y untuk pertemuan, dan x + y untuk sambungan x ∨ y. Penggunaan + ini berbeda dengan penggunaan dalam teori gelanggang.
• Sebuah konvensi langka adalah menggunakan xy untuk produk dan x ⊕ y untuk jumlah gelanggang, dalam upaya untuk menghindari ambiguitas +.

Secara historis, istilah "gelanggang Boolean" telah digunakan untuk mengartikan "menggunakan gelanggang Boolean tanpa identitas", dan "aljabar Boolean" telah digunakan untuk mengartikan gelanggang Boolean dengan identitas. Keberadaan identitas diperlukan untuk mempertimbangkan gelanggang sebagai aljabar pada bidang dua elemen: jika tidak, tidak mungkin ada homomorfisme gelanggang (unital) dari medan dua elemen dalam gelanggang Boolean (ini sama dengan penggunaan lama istilah "gelanggang" dan "aljabar" dalam teori pengukuran^[a]).

Salah satu contoh ring Boolean adalah himpunan kuasa dari sembarang himpunan X, dimana penjumlahan pada ring adalah perbedaan simetris, dan perkaliannya adalah irisan/persimpangan. Sebagai contoh lain, apabila mempertimbangkan himpunan semua hingga atau himpunan bagian kohingga dari X, dengan perbedaan simetris dan irisan sebagai operasi. Lebih umum dengan operasi ini setiap medan himpunan adalah gelanggang Boolean. Dengan teorema wakilan Stone setiap gelanggang Boolean isomorfik pada medan himpunan (sebagai gelanggang dengan operasi ini).

Karena operasi sambungan ∨ dalam aljabar Boolean ditulis secara aditif, maka dalam konteks ini untuk menyatakan penambahan gelanggang dengan ⊕, sebuah simbol yang sering digunakan untuk menyatakan eksklusif atau.

Diberikan gelanggang Boolean R, untuk x dan y di R maka didefinisikan

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1 ⊕ x.

Operasi ini kemudian memenuhi semua aksioma untuk pertemuan, sambungan, dan melengkapi dalam aljabar Boolean. Jadi setiap gelanggang Boolean sebagai aljabar Boolean. Demikian pula, setiap aljabar Boolean sebagai gelanggang Boolean sebagai berikut:

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y).

Jika gelanggang Boolean ditranslasikan dalam aljabar Boolean dengan cara ini, dan kemudian aljabar Boolean ditranslasikan dalam gelanggang, hasilnya adalah gelanggang asli. Hasil analogi dimulai dengan aljabar Boolean.

Peta antara dua gelanggang Boolean adalah [gelanggang [homomorfisme]] jika dan hanya jika adalah homomorfisme dari aljabar Boolean yang sesuai. Selanjutnya, sebuah himpunan bagian dari gelanggang Boolean adalah gelanggang ideal (ideal gelanggang prima, gelanggang ideal maksimal) jika dan hanya jika adalah urutan ideal (urutan ideal prima, urutan ideal maksimal) dari aljabar Boolean. Gelanggang hasil bagi dari modulo gelanggang ideal Boolean sesuai dengan aljabar faktor dari modulo aljabar Boolean urutan ideal yang sesuai.

Setiap gelanggang Boolean R memenuhi x ⊕ x = 0 untuk semua x dalam R, maka

x ⊕ x = (x ⊕ x)² = x² ⊕ x² ⊕ x² ⊕ x² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

dan karena (R,⊕) adalah grup abelian, apabila mengurangkan x ⊕ x dari kedua ruas persamaan ini, yang menghasilkan x ⊕ x = 0. Bukti serupa menunjukkan bahwa setiap gelanggang Boolean adalah komutatif:

x ⊕ y = (x ⊕ y)² = x² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

dan ini menghasilkan xy ⊕ yx = 0, yang berarti xy = yx (menggunakan sifat pertama di atas).

Properti x ⊕ x = 0 menunjukkan bahwa sembarang gelanggang Boolean adalah aljabar asosiatif atas medan F ₂ dengan dua elemen, dengan tepat satu cara. Secara khusus, setiap ring Boolean berhingga memiliki kardinalitas dari sebuah dua pangkat. Tidak setiap aljabar asosiatif satuan atas F₂ adalah gelanggang Boolean: misalnya gelanggang polinomial F₂[X].

Gelanggang hasil bagi R/I dari setiap gelanggang Boolean R modulo setiap ideal I salah satu dari gelanggang Boolean. Demikian pula, setiap subgelanggang dari gelanggang Boolean adalah ring Boolean.

Setiap lokalisasi ${\displaystyle RS^{-1}}$ dari gelanggang Boolean R dengan himpunan ${\displaystyle S\subseteq R}$ adalah gelanggang Boolean, karena setiap elemen dalam lokalisasi adalah idempoten.

Gelanggang maksimal hasil bagi ${\displaystyle Q(R)}$ (dalam pengertian Utumi dan Lambek) dari gelanggang Boolean R adalah gelanggang Boolean, karena setiap endomorfisme parsial dengan sifat idempoten.^[7]

Setiap ideal prima P dalam gelanggang Boolean R adalah maksimal: gelanggang hasil bagi R/P adalah domain integral dan juga gelanggang Boolean, jadi isomorfik ke medan F₂, yang menunjukkan maksimum P. Karena ideal maksimal adalah prima, ideal prima dan ideal maksimal bertepatan dalam gelanggang Boolean.

Gelanggang Boolean adalah cincin beraturan von Neumann.

Gelanggang Boolean memiliki sifat datar: ini berarti bahwa setiap modul di atasnya adalah datar.

Setiap ideal gelanggang Boolean dibangun hingga adalah prinsipal (bahkan, (x,y) = (x + y + xy )).

Unifikasi pada gelanggang Boolean adalah desidabilitas,^[8] yaitu, algoritma untuk menyelesaikan persamaan arbitrer pada gelanggang Boolean. Baik penyatuan dan pencocokan dalam hingga gelanggang Boolean bebas adalah kelengkapan-NP, dan keduanya NP-hard dalam kesajian-hingga ring Boolean.^[9] (faktanya, karena setiap masalah penyatuan f(X) = g(X) dalam gelanggang Boolean apabila ditulis sebagai masalah pencocokan f(' 'X) + g(X) = 0, soalnya ekuivalen).

Unifikasi dalam gelanggang Boolean adalah satuan jika semua simbol fungsi yang tidak diinterpretasikan adalah nullari dan finiter jika tidak (yaitu jika simbol fungsi yang tidak muncul dalam tanda tangan gelanggang Boolean semuanya adalah konstanta, maka apabila unifikasi generalisasi umum, dan jika tidak, himpunan kelengkapan minimal unifikasi hingga).^[10]

• Gelanggang bentuk normal jumlah

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-01984-1 
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (edisi ke-2nd), John Wiley & Sons 
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra (edisi ke-Revised), Allyn and Bacon, LCCN 68015225 
• Templat:Eom

• John Armstrong, Gelanggang Boolean Diarsipkan 2022-12-05 di Wayback Machine.