Fungsi Green

Dalam matematika, Fungsi Green adalah respons impuls dari tidak homogen linier operator diferensial yang ditentukan pada domain.

Artinya jika L adalah operator diferensial linier, maka

• fungsi Green G adalah solusi dari persamaan LG = δ , di mana δ adalah Fungsi delta Dirac;
• solusi dari masalah nilai awal Ly = f adalah konvolusi ( G * f ), di mana G adalah fungsi Green .

Melalui prinsip superposisi, diberi persamaan diferensial linear (ODE), L (solusi) = sumber, yang pertama bisa diselesaikan L(green) = δ_s, untuk setiap s, dan menyadari bahwa, karena sumber adalah jumlah dari fungsi delta, solusinya adalah penjumlahan fungsi Green juga, dengan linearitas L .

Fungsi Green dinamai menurut ahli matematika Inggris George Green, yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an. Dalam studi modern tentang persamaan diferensial parsial linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang solusi fundamental.

Di bawah teori benda banyak, istilah ini juga digunakan dalam fisika, khususnya dalam teori medan kuantum, aerodinamika, aeroakustik, elektrodinamika, seismologi dan teori medan statistik, untuk merujuk pada berbagai jenis fungsi korelasi, bahkan yang tidak sesuai. Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai propagator.

Fungsi A Green, G(x,s), dari operator diferensial linear ${\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L} (x)}$ bertindak pada distribusi selama himpunan bagian dari ruang Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, pada satu titik s , adalah solusi dari

${\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta (s-x)\,,}$

(1)

dengan δ adalah Fungsi delta Dirac. Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut

${\displaystyle \operatorname {L} \,u(x)=f(x)~.}$

(2)

Jika kernel dari L adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik. Namun, dalam praktiknya, beberapa kombinasi simetri, kondisi batas dan / atau kriteria yang ditentukan secara eksternal akan memberikan fungsi Green yang unik. Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan bilangan fungsi Green. Selain itu, fungsi Green secara umum adalah distribusi, tidak harus fungsi dari variabel nyata.

Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan gelombang s dan persamaan difusi. Dalam mekanika kuantum, fungsi Green dari Hamiltonian adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep kepadatan keadaan.

Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan. Itu adalah,

${\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta (x-s)~.}$

Definisi ini tidak secara signifikan mengubah salah satu properti fungsi Green karena kemerataan fungsi delta Dirac.

Jika operatornya invariansi terjemahan, yaitu kapan ${\displaystyle \operatorname {L} }$ memiliki koefisien konstan sehubungan dengan x , maka fungsi Green dapat dianggap sebagai kernel konvolusi, yaitu,

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)~.}$

Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls teori sistem invarian waktu linear.

Singkatnya, jika fungsi seperti itu G dapat ditemukan untuk operator ${\displaystyle \operatorname {L} }$, kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan f ( s ), dan kemudian mengintegrasikannya dengan s, kita mendapatkan ,

${\displaystyle \int \operatorname {L} \,G(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)~.}$

Karena operator ${\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L} (x)}$ linear dan hanya bekerja pada variabel x (dan tidak pada variabel integrasi s), seseorang dapat mengambil operator ${\displaystyle \operatorname {L} }$ di luar integrasi, menghasilkan

${\displaystyle \operatorname {L} \,\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)~.}$

Artinya

${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$

(3)

is a solution to the equation ${\displaystyle \operatorname {L} u(x)=f(x)~.}$

Dengan demikian, seseorang dapat memperoleh fungsi u(x) melalui pengetahuan tentang fungsi Green dalam persamaan (1) dan suku sumber di sisi kanan dalam persamaan (2). Proses ini bergantung pada linieritas operator ${\displaystyle \operatorname {L} }$.

Dengan kata lain, solusi persamaan (2), u(x), dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3). Meskipun f (x) diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali G juga dikenal. Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green G yang memenuhi persamaan (1). Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut solusi fundamental yang terkait dengan operator ${\displaystyle \operatorname {L} }$.

Tidak semua operator ${\displaystyle \operatorname {L} }$ mengakui fungsi Green. Fungsi Green juga dapat dianggap sebagai invers kanan dari ${\displaystyle \operatorname {L} }$. Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi. Namun metode memberikan exac secara teoritis.

Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari f menurut basis Fungsi delta Dirac (memproyeksikan f ke atas ${\displaystyle \delta (x-s)\,}$; dan superposisi solusi pada setiap proyeksi. Persamaan integral semacam itu dikenal sebagai persamaan integral Fredholm, yang studinya merupakan teori Fredholhm

Penggunaan utama fungsi Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan masalah nilai batas non-homogen. Dalam fisika teoretis modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai propagator dalam diagram Feynman; istilah Fungsi Hijau sering digunakan lebih lanjut untuk fungsi korelasi.

Maka ${\displaystyle \operatorname {L} }$ menjadi operator Sturm–Liouville, operator diferensial linear dari bentuk

${\displaystyle \operatorname {L} ={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$

dan maka ${\displaystyle {\vec {\operatorname {D} }}}$ menjadi operator kondisi batas nilai vektor

${\displaystyle {\vec {\operatorname {D} }}\,u=\left[{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{matrix}}\right]~.}$

Maka ${\displaystyle f(x)}$ menjadi fungsi berlanjut pada ${\displaystyle [0,\ell ]~.}$ Selanjutnya anggaplah masalahnya

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk ${\displaystyle f(x)=0}$ untuk semua x ${\displaystyle u(x)=0}$.^[a]

Hanya ada satu solusi ${\displaystyle u(x)}$ maka

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

and it is given by

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds~,}$

dimana ${\displaystyle G(x,s)}$ adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut:

1. ${\displaystyle G(x,s)}$ kontinu dalam ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle s}$.
2. Untuk ${\displaystyle x\neq s~}$, ${\displaystyle \quad \operatorname {L} \,G(x,s)=0~}$.
3. Untuk ${\displaystyle s\neq 0~}$, ${\displaystyle \quad {\vec {\operatorname {D} }}\,G(x,s)={\vec {0}}~}$.
4. Turunan "lompat": ${\displaystyle \quad G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)~}$.
5. Simetri: ${\displaystyle \quad G(x,s)=G(s,x)~}$.

Terkadang fungsi Green dapat dibagi menjadi dua fungsi. Satu dengan variabel positif (+) dan yang lainnya dengan variabel negatif (-). Ini adalah fungsi Green lanjutan dan terbelakang, dan ketika persamaan yang diteliti bergantung pada waktu, salah satu bagiannya adalah kausal dan yang lainnya anti-kausal. Dalam masalah ini biasanya bagian penyebab adalah yang terpenting. Ini sering kali merupakan solusi dari persamaan gelombang elektromagnetik tidak homogen.

Meskipun tidak secara unik memperbaiki bentuk fungsi Green, melakukan analisis dimensi untuk menemukan satuan yang harus dimiliki fungsi Green adalah pemeriksaan kewarasan yang penting pada fungsi Green yang ditemukan melalui cara lain. Pemeriksaan cepat dari persamaan yang menentukan,

${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}$

menunjukkan bahwa satuan ${\displaystyle G}$ tidak hanya bergantung pada satuan ${\displaystyle L}$ tetapi juga pada bilangan dan satuan ruang di mana vektor posisi ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle s}$ adalah elemen. Ini mengarah pada hubungan:

${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[\mathrm {d} x]]^{-1},}$

dimana ${\displaystyle [[G]]}$ didefinisikan sebagai, "satuan fisik ${\displaystyle G}$", dan ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ adalah elemen volume dari ruang (atau ruangwaktu).

Misalnya, jika ${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$ dan waktu adalah satu-satunya variabel maka:

${\displaystyle [[L]]=[[\mathrm {waktu} ]]^{-2},}$

${\displaystyle [[\mathrm {d} x]]=[[\mathrm {waktu} ]],\ \mathrm {dan} }$

${\displaystyle [[G]]=[[\mathrm {waktu} ]].}$

Jika ${\displaystyle L=\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$, Operator d'Alembert, dan ruang memiliki 3 dimensi maka:

${\displaystyle [[L]]=[[\mathrm {panjang} ]]^{-2},}$

${\displaystyle [[\mathrm {d} x]]=[[\mathrm {waktu} ]][[\mathrm {panjang} ]]^{3},\ \mathrm {and} }$

${\displaystyle [[G]]=[[\mathrm {waktu} ]]^{-1}[[\mathrm {panjang} ]]^{-1}.}$

Jika operator diferensial L menerima satu set vektor eigen Ψ_n(x) (yaitu, satu set fungsi Ψ_n dan skalar λ_n such that LΨ_n = λ_n Ψ_n ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan nilai eigen ini.

"Lengkap "artinya kumpulan fungsi { Ψ_n } memenuhi hubungan kelengkapan berikut,

${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$

Kemudian yang berikut berlaku,

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}$

dimana ${\displaystyle \dagger }$ mewakili konjugasi kompleks.

Menerapkan operator L ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan.

Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan ruang fungsi yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai teori Fredholm.

Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk metode gambar, pemisahan variabel, dan Transformasi Laplace (Cole 2011).

Dari operator diferensial ${\displaystyle L}$ dapat difaktorkan sebagai ${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ maka fungsi Green dari ${\displaystyle L}$ bisa dibangun dari fungsi Green untuk ${\displaystyle L_{1}}$ dan ${\displaystyle L_{2}}$:

${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,\mathrm {d} s_{1}.}$

Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan ${\displaystyle G(x,s)}$ menjadi representasi dari operator kanan invers dari ${\displaystyle L}$, analog dengan cara operator linear invers ${\displaystyle C}$, didefinisikan oleh ${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$, diwakili oleh elemen matriksnya ${\displaystyle C_{i,j}}$.

Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$. Teorema fundamental aljabar, dikombinasikan dengan fakta bahwa ${\displaystyle \partial _{x}}$ bepergian dengan sendirinya, menjamin bahwa polinomial dapat difaktorkan, dengan menempatkan ${\displaystyle L}$ dalam bentuk:

${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}(\partial _{x}-z_{i}),}$

dengan ${\displaystyle z_{i}}$ adalah angka nol dari ${\displaystyle P_{N}(z)}$. Mengambil Transformasi Fourier dari ${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$ sehubungan dengan ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle s}$ gives:

${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$

Pecahan kemudian dapat dibagi menjadi jumlah menggunakan Dekomposisi pecahan sebagian sebelum Fourier mengubah kembali ke spasi ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle s}$. Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama. Misalnya, jika ${\displaystyle L=(\partial _{x}+\gamma )(\partial _{x}+\alpha )^{2}}$ maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\,(x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1})\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (s_{1}-s)}\,\mathrm {d} s_{1}.\end{aligned}}}$

Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ adalah operator dalam polinomial).

Tabel berikut memberikan gambaran umum tentang fungsi Green dari operator diferensial yang sering muncul, di mana ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, ${\displaystyle \textstyle \Theta (t)}$ adalah fungsi langkah Heaviside, ${\displaystyle \textstyle J_{\nu }(z)}$ adalah fungsi Bessel, ${\displaystyle \textstyle I_{\nu }(z)}$ adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama, dan ${\displaystyle \textstyle K_{\nu }(z)}$ adalah Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua.^[1] Di mana waktu ( t ) muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.

Operator diferensial L	Fungsi Green G	Contoh aplikasi
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   with   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	Osilator harmonik teredam 1D
Operator Laplace 2D ${\displaystyle \Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   with   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	Persamaan 2D Poisson
Operator Laplace 3D ${\displaystyle \Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}}$   with   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Persamaan Poisson
Operator Helmholtz ${\displaystyle \Delta _{\text{3D}}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}}$${\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}$${\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }}\,}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}$	3D stasioner persamaan Schrödinger untuk partikel bebas
${\displaystyle \Delta -k^{2}}$ in ${\displaystyle n}$ dimensions	${\displaystyle -(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Potensi Yukawa, Penyebar Feynman
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}$	1D wave equation
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	2D persamaan gelombang
D'Alembert operator ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}}$	3D persamaan gelombang
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}}$	1D difusi
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D difusi
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}}$	3D difusi
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1D Persamaan Klein–Gordon
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos(\mu ct)){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D Persamaan Klein–Gordon
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D Persamaan Klein–Gordon
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	telegrapher's equation
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D konduksi panas relativistik
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D konduksi panas relativistik

Contoh. Temukan fungsi Hijau untuk masalah berikut, dengan Nomor fungsi Green adalah X11:

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$

Langkah pertama: Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk

${\displaystyle g''(x,s)+k^{2}g(x,s)=\delta (x-s).}$

Jika ${\displaystyle x\neq s}$, maka fungsi delta memberikan nol, dan solusi umumnya adalah

${\displaystyle g(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$

Untuk ${\displaystyle x<s}$, kondisi batas di ${\displaystyle x=0}$ menyiratkan

${\displaystyle g(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$

jika ${\displaystyle x<s}$ and ${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$.

Untuk ${\displaystyle x>s}$, kondisi batas di ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$ menyiratkan

${\displaystyle g\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$

Persamaan ${\displaystyle g(0,s)=0}$ dilewati karena alasan yang sama.

Untuk meringkas hasil sejauh ini:

${\displaystyle g(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$

Tahap kedua: Tugas selanjutnya adalah menentukan ${\displaystyle c_{2}}$ dan ${\displaystyle c_{3}}$.

Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di ${\displaystyle x=s}$ menyiratkan

${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$

Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ untuk ${\displaystyle x=s+\varepsilon }$ dan mengambil batas sebagai ${\displaystyle \varepsilon }$ pergi ke nol:

${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$

Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk ${\displaystyle c_{2}}$ dan ${\displaystyle c_{3}}$ to obtain

${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$

Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah:

${\displaystyle g(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Green function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Green's Function". MathWorld. 
• Green's function for differential operator di PlanetMath.
• Green’s function di PlanetMath.
• Green functions and conformal mapping di PlanetMath.
• Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique Diarsipkan 2016-03-03 di Wayback Machine. by A. P. Jauho
• Green's Function Library Diarsipkan 2023-06-07 di Wayback Machine.
• Tutorial on Green's functions
• Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically) Diarsipkan 2012-02-07 di Wayback Machine.
• At Citizendium Diarsipkan 2012-03-25 di Wayback Machine.
• MIT video lecture on Green's function
• Bowley, Roger. "George Green & Green's Functions". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-10-06. Diakses tanggal 2020-10-22.