Faktor momen inersia

Dalam ilmu keplanetan, faktor momen inersia adalah besaran nirdimensi yang mencirikan penyebaran radial massa di dalam planet atau satelit alami. Karena momen inersia harus memiliki dimensi massa yang dikalikan dengan panjang kuadrat, faktor momen inersia adalah koefisien yang mengalikannya.

Definisi

Untuk objek keplanetan dengan momen inersia utama ${\displaystyle A<B<C}$, faktor momen inersia diuraikan menjadi:

${\displaystyle {\frac {C}{MR^{2}}}}$,

di mana C adalah momen inersia polar objek, M adalah massa objek, dan R adalah jari-jari rata-rata objek.[1][2] Untuk bola dengan kepadatan seragam, ${\displaystyle C/MR^{2}=0,4}$.[catatan 1][catatan 2] Untuk planet atau satelit alami yang terdiferensiasi, yang kepadatannya meningkat seiring dengan kedalaman, ${\displaystyle C/MR^{2}<0,4}$. Besaran ini merupakan indikator keberadaan sekaligus indikator luas inti planet, karena penyimpangan yang lebih besar dari nilai kepadatan seragam sebesar 0,4 menunjukkan tingkat konsentrasi material padat ke arah pusatnya.

Momen inersia objek Tata Surya

Matahari memiliki nilai faktor momen inersia terendah di antara objek-objek Tata Surya lainnya; bintang tersebut sejauh ini memiliki kepadatan pusat tertinggi (162 g/cm^3,[3][catatan 3] dibandingkan dengan ~13 untuk Bumi[4][5]) dan kepadatan rata-rata yang relatif rendah (1,41 g/cm^3 versus 5,5 untuk Bumi). Saturnus memiliki nilai faktor momen inersia terendah di anrara raksasa gas, sebagian karena planet ini memiliki massa jenis terendah (0,687 g/cm^3).[6] Ganimede memiliki nilai faktor momen inersia terendah di antara semua objek padat di Tata Surya karena interiornya yang terdiferensiasi sepenuhnya,[7][8] akibat pemanasan pasang surut karena resonansi Laplace,[9] serta karena komponen substansialnya mengandung es air dengan kepadatan rendah. Callisto memiliki ukuran dan komposisi yang serupa dengan Ganimede, tetapi bukan bagian dari resonansi orbit dan tidak terlalu terdiferensiasi.[7][8] Bulan diperkirakan memiliki inti yang kecil, tetapi interiornya relatif homogen.[10][11]

Objek	Nilai	Sumber	Catatan
00 Matahari	0070 0,070	[3]	Tidak diukur
01 Merkurius	0346 0,346 ± 0,014	[12]
02 Venus	0338 0,337 ± 0,024	[13]
03 Bumi	0331 0,3307	[14]
04 Bulan	0393 0,3929 ± 0,0009	[15]
05 Mars	0364 0,3644 ± 0,0005	[16]
06 Ceres	0360 0,36 ± 0,15[catatan 4]	[18]	Tidak diukur (rentang mencerminkan asumsi yang berbeda untuk tingkat putaran yang sebenarnya[18])
07 Jupiter	0276 0,2756 ± 0,0006	[19]	Tidak diukur (perhitungan model dua lapis dibatasi oleh data gravitasi Juno[19])
08 Io	0378 0,37824 ± 0,00022	[20]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
09 Europa	0346 0,346 ± 0,005	[20]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
10 Ganimede	0311 0,3115 ± 0,0028	[20]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
11 Callisto	0355 0,3549 ± 0,0042	[20]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
12 Saturnus	0220 0,22	[21]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
13 Enceladus	0330 0,3305 ± 0,0025	[22]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
13 Rhea	0391 0,3911 ± 0,0045	[23]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
13 Titan	0341 0,341	[24]	Tidak diukur (persamaan Darwin-Radau)
14 Uranus	0230 0,23	[25]	Tidak diukur (penyelesaian kira-kira dari persamaan Clairaut)
15 Neptune	0230 0,23	[25]	Tidak diukur (penyelesaian kira-kira dari persamaan Clairaut)

Pengukuran

Momen inersia kutub biasanya ditentukan dengan memadukan pengukuran besaran putaran (laju presesi putaran dan/atau oblikuitas) dengan besaran gravitasi (koefisien harmonik bola yang merepresentasikan medan gravitasi). Data geodesi ini biasanya memerlukan wahana antariksa yang mengorbit untuk dapat mengumpulkannya.

Perkiraan

Untuk objek yang berada dalam kesetimbangan hidrostatik, persamaan Darwin–Radau dapat menyajikan perkiraan faktor momen inersia berdasarkan besaran bentuk, putaran, dan gravitasi.[26]

Peran dalam model interior

Faktor momen inersia memberikan batasan penting untuk model yang mewakili struktur internal planet atau satelit alami. Minimal, model profil densitas yang dapat diterima harus sesuai dengan massa jenis dan faktor momen inersia objek.

Galeri model struktur internal

• 
  Matahari (C/MR^2 = 0,070)
• 
  Saturnus (C/MR^2 = 0,22)
• 
  Ganimede (C/MR^2 = 0,3115)
• 
  Bumi (C/MR^2 = 0,3307)
• 
  Callisto (C/MR^2 = 0,3549)
• 
  Bulan (C/MR^2 = 0,3929)

Catatan

1. Untuk bola dengan kepadatan seragam, kita dapat menghitung momen inersia dan massa dengan mengintegrasikan piringan-piringan dari "kutub selatan" ke "kutub utara". Dengan menggunakan kepadatan 1, piringan dengan jari-jari r memiliki momen inersia

   ${\displaystyle \int _{0}^{r}2\pi r^{3}\ dr={\frac {\pi r^{4}}{2}}}$

   di mana massanya adalah

   ${\displaystyle \int _{0}^{r}2\pi r\ dr=\pi r^{2}}$

   Membiarakan ${\displaystyle r=R\cos \theta }$ dan mengintegrasikan ${\displaystyle R\sin \theta }$ kita akan mendapatkan:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{R^{5}}}&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}\cos ^{4}\theta \ d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}(1-\sin ^{2}\theta )^{2}\ d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}(1-2\sin ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta )d\sin \theta \\&={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}(d\sin \theta -{\frac {2}{3}}d\sin ^{3}\theta +{\frac {1}{5}}d\sin ^{5}\theta )\\&={\frac {8}{15}}\pi \end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {M}{R^{3}}}&=\pi \int _{-1}^{1}\cos ^{2}\theta \ d\sin \theta \\&=\pi \int _{-1}^{1}(1-\sin ^{2}\theta )d\sin \theta \\&=\pi \int _{-1}^{1}(d\sin \theta -{\frac {1}{3}}d\sin ^{3}\theta )\\&={\frac {4}{3}}\pi \end{aligned}}}$

   Ini menghasilkan ${\displaystyle C/MR^{2}=0.4}$.
2. Untuk beberapa contoh lainnya (ketika sumbu rotasi adalah sumbu simetri jika tidak ditentukan lain), kerucut padat memiliki faktor 0,3; batang tipis seragam (yang berputar pada pusatnya tegak lurus terhadap sumbunya, sehingga R adalah panjang/2) memiliki faktor 1/3; kerucut berongga atau silinder padat memiliki faktor 0,5; bola berongga memiliki faktor 2/3; dan silinder berongga dengan ujung terbuka memiliki faktor 1,0.
3. Kepadatan pusat sebuah bintang cenderung meningkat seiring perjalanan masa hidupnya, selain selama peristiwa pembakaran fusi nuklir inti yang singkat seperti kilatan helium.
4. Nilai yang diberikan untuk Ceres adalah momen inersia rata-rata, yang dianggap lebih mewakili struktur interiornya daripada momen inersia kutub, karena kepepatan kutubnya yang tinggi.[17]

Referensi

1. Hubbard, William B. (1984). Planetary interiors. New York, N.Y.: Van Nostrand Reinhold. ISBN 978-0442237042. OCLC 10147326. 
2. de Pater, Imke; Lissauer, Jack J. (2015). Planetary sciences (edisi ke-2 diperbarui). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521853712. OCLC 903194732. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-17. Diakses tanggal 2022-01-25. 
3. Williams, D. R. "Sun Fact Sheet". Planetary Fact Sheets. NASA. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-07-15. Diakses tanggal 26 Januari 2017. 
4. Robertson, Eugene C. (26 Juli 2001). "The Interior of the Earth". USGS. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-08-28. Diakses tanggal 24 Maret 2007. 
5. Hazlett, James S.; Monroe, Reed; Wicander, Richard (2006). Physical geology : exploring the earth (edisi ke-6.). Belmont: Thomson. hlm. 346. ISBN 9780495011484. 
6. Williams, David R. (7 September 2006). "Saturn Fact Sheet". NASA. Diarsipkan dari versi asli tanggal 9 April 2014. Diakses tanggal 31 Juli 2007.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
7. Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1 Oktober 1999). "The Galilean Satellites" (PDF). Science. 286 (5437): 77–84. doi:10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2011-05-14. Diakses tanggal 2022-01-25. 
8. Sohl, F.; Spohn, T; Breuer, D.; Nagel, K. (2002). "Implications from Galileo Observations on the Interior Structure and Chemistry of the Galilean Satellites". Icarus. 157 (1): 104–119. Bibcode:2002Icar..157..104S. doi:10.1006/icar.2002.6828. 
9. Showman, Adam P.; Stevenson, David J.; Malhotra, Renu (1997). "Coupled Orbital and Thermal Evolution of Ganymede" (PDF). Icarus. 129 (2): 367–383. Bibcode:1997Icar..129..367S. doi:10.1006/icar.1997.5778. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2019-06-03. Diakses tanggal 2022-01-25. 
10. Brown, D.; Anderson, J. (6 Januari 2011). "NASA Research Team Reveals Moon Has Earth-Like Core". NASA. NASA. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-01-11. Diakses tanggal 2022-01-25. 
11. Weber, R. C.; Lin, P.-Y.; Garnero, E. J.; Williams, Q.; Lognonne, P. (21 Januari 2011). "Seismic Detection of the Lunar Core" (PDF). Science. 331 (6015): 309–312. Bibcode:2011Sci...331..309W. doi:10.1126/science.1199375. PMID 21212323. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 15 Oktober 2015. Diakses tanggal 10 April 2017.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
12. Margot, Jean-Luc; Peale, Stanton J.; Solomon, Sean C.; Hauck, Steven A.; Ghigo, Frank D.; Jurgens, Raymond F.; Yseboodt, Marie; Giorgini, Jon D.; Padovan, Sebastiano; Campbell, Donald B. (2012). "Mercury's moment of inertia from spin and gravity data". Journal of Geophysical Research: Planets. 117 (E12): E00L09–. Bibcode:2012JGRE..117.0L09M. doi:10.1029/2012JE004161 . ISSN 0148-0227. 
13. Margot, Jean-Luc; Campbell, Donald B.; Giorgini, Jon D.; Jao, Joseph S.; Snedeker, Lawrence G.; Ghigo, Frank D.; Bonsall, Amber (29 April 2021). "Spin state and moment of inertia of Venus". Nature Astronomy (dalam bahasa Inggris). 5 (7): 676–683. arXiv:2103.01504 . Bibcode:2021NatAs...5..676M. doi:10.1038/s41550-021-01339-7. ISSN 2397-3366. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-09. Diakses tanggal 2022-01-25.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
14. Williams, James G. (1994). "Contributions to the Earth's obliquity rate, precession, and nutation". The Astronomical Journal. 108: 711. Bibcode:1994AJ....108..711W. doi:10.1086/117108. ISSN 0004-6256. 
15. Williams, James G.; Newhall, XX; Dickey, Jean O. (1996). "Lunar moments, tides, orientation, and coordinate frames". Planetary and Space Science. 44 (10): 1077–1080. Bibcode:1996P&SS...44.1077W. doi:10.1016/0032-0633(95)00154-9. ISSN 0032-0633. 
16. Konopliv, Alex S.; Asmar, Sami W.; Folkner, William M.; Karatekin, Özgür; Nunes, Daniel C.; Smrekar, Suzanne E.; Yoder, Charles F.; Zuber, Maria T. (Januari 2011). "Mars high resolution gravity fields from MRO, Mars seasonal gravity, and other dynamical parameters". Icarus. 211 (1): 401–428. Bibcode:2011Icar..211..401K. doi:10.1016/j.icarus.2010.10.004. 
17. Park, R. S.; Konopliv, A. S.; Bills, B. G.; Rambaux, N.; Castillo-Rogez, J. C.; Raymond, C. A.; Vaughan, A. T.; Ermakov, A. I.; Zuber, M. T.; Fu, R. R.; Toplis, M. J.; Russell, C. T.; Nathues, A.; Preusker, F. (2016-08-03). "A partially differentiated interior for (1) Ceres deduced from its gravity field and shape". Nature. 537 (7621): 515–517. Bibcode:2016Natur.537..515P. doi:10.1038/nature18955. PMID 27487219.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
18. Mao, X.; McKinnon, W. B. (2018). "Faster paleospin and deep-seated uncompensated mass as possible explanations for Ceres' present-day shape and gravity". Icarus. 299: 430–442. Bibcode:2018Icar..299..430M. doi:10.1016/j.icarus.2017.08.033. 
19. Ni, D. (2018). "Empirical models of Jupiter's interior from Juno data". Astronomy & Astrophysics. 613: A32. doi:10.1051/0004-6361/201732183 . 
20. Schubert, G.; Anderson, J. D.; Spohn, T.; McKinnon, W. B. (2004). "Interior composition, structure and dynamics of the Galilean satellites". Dalam Bagenal, F.; Dowling, T. E.; McKinnon, W. B. Jupiter : the planet, satellites, and magnetosphere. New York: Cambridge University Press. hlm. 281–306. ISBN 978-0521035453. OCLC 54081598. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-16. Diakses tanggal 2022-01-25. 
21. Fortney, J.J.; Helled, R.; Nettlemann, N.; Stevenson, D.J.; Marley, M.S.; Hubbard, W.B.; Iess, L. (6 Desember 2018). "The Interior of Saturn". Dalam Baines, K.H.; Flasar, F.M.; Krupp, N.; Stallard, T. Saturn in the 21st Century. Cambridge University Press. hlm. 44–68. ISBN 978-1-108-68393-7. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-17. Diakses tanggal 2022-01-25. 
22. McKinnon, W. B. (2015). "Effect of Enceladus's rapid synchronous spin on interpretation of Cassini gravity". Geophysical Research Letters. 42 (7): 2137–2143. Bibcode:2015GeoRL..42.2137M. doi:10.1002/2015GL063384 . 
23. Anderson, J. D.; Schubert, G. (2007). "Saturn's satellite Rhea is a homogeneous mix of rock and ice". Geophysical Research Letters. 34 (2): L02202. Bibcode:2007GeoRL..34.2202A. doi:10.1029/2006GL028100 . 
24. Durante, D.; Hemingway, D.J.; Racioppa, P.; Iess, L.; Stevenson, D.J. (2019). "Titan's gravity field and interior structure after Cassini" (PDF). Icarus. 326: 123–132. Bibcode:2019Icar..326..123D. doi:10.1016/j.icarus.2019.03.003. hdl:11573/1281269 . Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-02-02. Diakses tanggal 2022-01-25.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
25. Yoder, C. (1995). Ahrens, T., ed. Astrometric and Geodetic Properties of Earth and the Solar System. Washington, DC: AGU. ISBN 978-0-87590-851-9. OCLC 703657999. Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 Maret 2016. Diakses tanggal 19 Agustus 2016.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
26. Murray, Carl D.; Dermott, Stanley F. (13 Februari 2000). Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1139936156. OCLC 40857034. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-17. Diakses tanggal 2022-01-25.