Daftar identitas eksponensiasi

Identitas eksponen atau eksponensiasi adalah sifat-sifat metode efisien untuk mengkomputasi berbagai bentuk yang elusif. Mengingat kembali bahwa eksponen adalah perkalian berulang pada basis, atau darab basis dikali sebanyak ${\displaystyle n}$^[1], maka secara matematis dirumuskan sebagai

${\displaystyle b^{n}=b\times \cdots \times b}$.

Sebagai limitasi ${\displaystyle b}$, grafik akan turun bila ${\displaystyle 0<b<1}$ dan akan menaik bila ${\displaystyle b>1}$, dengan masing-masing menyatakan bahwa grafik akan mengalami peluruhan dan pertumbuhan.^[2] Mengenai akar atau daftar identitas akar, akan tetap dimasukkan ke dalam halaman ini (karena merupakan bentuk pecahan eksponen).

Meskipun eksponensiasi invers dengan logaritma, namun keduanya memiliki sifat yang interdependensi dengan satu sama lain. Berikut adalah daftar identitas eksponen atau daftar identitas eksponensiasi, di antaranya sebagai berikut.

Sifat yang paling dasar mengenai sifat eksponen adalah ketika dipangkatkan dengan ${\displaystyle 0}$, maka kita memperoleh nilai sebesar 1. Untuk setiap bilangan yang dipangkatkan akan bernilai 1, dengan eksepsi bilangan tersebut tidak boleh sama dengan 0, yang akan mengakibatkan nilai menjadi tak tentu atau berupa bentuk tak tentu^{[3][nb 1]} bila bilangan tersebut 0.

${\displaystyle b^{0}=1}$, dimana ${\displaystyle b\neq 0}$.^[4]

Sebagai permisalan dan umpamanya, kita tinjau ${\displaystyle 2^{0}}$. Maka nilainya bernilai ${\displaystyle 1}$.

Sifat dasar lainnya, yakni dimana pangkat bernilai negatif. Pemangkatan negatif pada sebuah basis akan sama halnya dengan basis berbentuk pecahan. Dengan kata lain, basisnya akan terletak di penyebut tersebut. Secara matematis, dapat ditulis

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$, asalkan ${\displaystyle b\neq 0}$.^[5]

• ${\displaystyle (bc)^{n}=b^{n}c^{n}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {b}{c}}\right)^{n}={\frac {b^{n}}{c^{n}}}}$

• ${\displaystyle (b+c)^{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}b^{n-k}c^{k}}$^{[6][nb 2]}
• ${\displaystyle (b-c)^{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}b^{n-k}(-c)^{k}}$

Untuk membuktikan pengurangan basis, cukup andaikan ${\displaystyle c<0}$ dan terapkan ke penambahan basis.

• ${\displaystyle b^{mn}=(b^{m})^{n}=(b^{n})^{m}}$
• ${\displaystyle b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}}$

• ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$
• ${\displaystyle b^{m-n}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}}$

Fungsi eksponensial, dinotasikan ${\displaystyle \exp }$ adalah fungsi eksponensiasi dengan ${\displaystyle e}$, konstanta Euler adalah basis eksponensiasi. Sifat-sifatnya mirip dengan sifat di atas.

• ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
• ${\displaystyle e^{x-y}={\frac {e^{x}}{e^{y}}}}$

Eksponen memiliki invers yang disebut logaritma, dimana logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.^[7] Kita tuliskan secara matematis, yaitu:

${\displaystyle b^{x}=c\iff ^{b}\!\log c=x}$.

Berikut adalah identitas eksponen yang berkaitan dengan logaritma.

• ${\displaystyle ^{a}\!\log b^{x}=x\,^{a}\!\log b}$
• ${\displaystyle b^{^{b}\!\log x}=x}$

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]=nx^{n-1}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[b^{x}\right]=b^{x}\ln b}$

• ${\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$
• ${\displaystyle \int b^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{x}}{\ln b}}+C}$

• ${\displaystyle b^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln b)^{n}}{n!}}x^{n}}$ dalam ekspansi deret Taylor.
• ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

• Daftar identitas logaritma

1. ^ A fortiori, lihat Nol pangkat nol sebagai bacaan adisional.
2. ^ Pada penambahan dan pengurangan basis dalam pemangkatan disebut sebagai teorema binomial.

1. ^ Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Diakses tanggal Agustus 27, 2020. 
2. ^ "Graphs of Exponential and Logarithmic Functions". Lumen, Boundless Algebra. 
3. ^ Huber, V.Frederick; Rickey. "What is 0^0?". www.maa.org. 
4. ^ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (edisi ke-3rd). Industrial Press. hlm. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2. 
5. ^ "Negative Exponents". Varsity Tutors. 
6. ^ "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld. 
7. ^ Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X Diarsipkan 2021-10-21 di Wayback Machine., hlm. 29.