Bagian dalam (topologi)

Titik ${\displaystyle x}$ merupakan titik dalam dari ${\displaystyle S}$, sedangkan titik ${\displaystyle y}$ merupakan titik batas dari ${\displaystyle S}$.

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam[1] (atau interior[1]) dari suatu himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada ruang topologis ${\displaystyle X}$ adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari ${\displaystyle H}$ yang terbuka pada ${\displaystyle X}$. Suatu titik yang berada pada interior dari ${\displaystyle H}$ disebut sebagai titik interior (atau titik dalam[2][3]) dari ${\displaystyle H}$.

Interior dari ${\displaystyle H}$ merupakan komplemen dari penutup komplemen dari ${\displaystyle H}$. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.

Bagian luar[4] (atau eksterior[4]) dari himpunan ${\displaystyle H}$ adalah komplemen dari penutup ${\displaystyle H}$, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).

Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

Definisi

Titik interior

Jika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior dari ${\displaystyle H}$ jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada ${\displaystyle x}$ dan termuat sepenuhnya pada ${\displaystyle H}$. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.

Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada suatu ruang metrik ${\displaystyle X}$ dengan metrik ${\displaystyle d}$. Titik ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil ${\displaystyle r>0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a\in H}$ ketika jarak ${\displaystyle d(x,\,a)<r}$.

Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan bagian dari ruang topologis ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior dari ${\displaystyle H}$ pada ${\displaystyle X}$ jika ${\displaystyle x}$ termuat pada suatu himpunan terbuka dari ${\displaystyle X}$ yang seluruhnya termuat pada ${\displaystyle H}$. Secara ekuivalen, ${\displaystyle x}$ adalah titik interior dari ${\displaystyle H}$ jika ${\displaystyle H}$ merupakan persekitaran dari ${\displaystyle x}$.

Interior dari suatu himpunan

Interior dari himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada suatu ruang topologis ${\displaystyle X}$, ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}$ atau ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ atau ${\displaystyle H^{\circ }}$, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:

1. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari ${\displaystyle X}$ yang termuat pada ${\displaystyle H}$.
2. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle X}$ yang termuat pada ${\displaystyle H}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah himpunan semua titik interior dari ${\displaystyle H}$.

Jika ruang ${\displaystyle X}$ dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ lebih diminati daripada ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}$.

Contoh

${\displaystyle a}$ merupakan titik interior dari ${\displaystyle M}$ sebab terdapat persekitaran berjarak ${\displaystyle \varepsilon }$ yang merupakan himpunan bagian dari ${\displaystyle M}$.

1. Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
2. Dalam setiap ruang ${\displaystyle X}$, jika ${\displaystyle H\subseteq X}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}$.
3. Jika ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (dengan topologi baku), maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}$ sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }$.
4. Jika ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}$.
5. Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.

Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

1. Jika digunakan topologi limit bawah, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}$.
2. Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}$.
3. Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ itu sendiri, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }$.

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

1. Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
2. Dalam setiap ruang takdiskret ${\displaystyle X}$, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah ${\displaystyle \varnothing }$ dan ${\displaystyle X}$ itu sendiri, maka ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ dan untuk sembarang ${\displaystyle H\subset X}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }$.

Sifat-sifat

Diberikan suatu ruang topologis ${\displaystyle \left(X,\,T\right)}$. Diambil sembarang ${\displaystyle A\subseteq X}$ dan ${\displaystyle B\subseteq X}$.

1. ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ merupakan himpunan terbuka pada ${\displaystyle X}$.
2. Jika ${\displaystyle A}$ terbuka pada ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle A\subseteq B}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ merupakan himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle A}$ ketika ${\displaystyle A}$ diberikan topologi subruang.
4. ${\displaystyle A}$ merupakan himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle X}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A=\operatorname {int} A}$.
5. Intensif: ${\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}$.
6. Idempoten: ${\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}$.
7. Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan: ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}$.
   Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}$ dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku.[note 1] Sebagai contoh, jika ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}$, dan ${\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}$, maka $${\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}$$
8. Monoton tak turun terhadap ${\displaystyle \subseteq }$: Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}$.

Sifat lainnya antara lain:

1. Jika ${\displaystyle A}$ tertutup dan ${\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}$.

Hubungan dengan penutup

Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"

berturut-turut diganti dengan

"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"

dan simbol-simbol berikut ditukar:

1. ${\displaystyle \subseteq }$ ditukar dengan ${\displaystyle \supseteq }$
2. ${\displaystyle \cup }$ ditukar dengan ${\displaystyle \cap }$

Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

Operator interior

Operator interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ atau dengan garis atas ^—, dalam artian bahwa $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}$$ dan juga $${\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}$$ dengan ${\displaystyle X}$ menyatakan ruang topologis yang memuat ${\displaystyle H}$, dan simbol ${\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}$ menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada ${\displaystyle X}$.

Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

Theorem[5] (C. Ursescu) — Misalkan ${\displaystyle \langle H_{n}\rangle }$ merupakan barisan himpunan-himpunan bagian pada ruang metrik lengkap ${\displaystyle X}$.

• Jika setiap ${\displaystyle S_{n}}$ tertutup pada ${\displaystyle X}$, maka $${\displaystyle {\overline {\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }\operatorname {int} _{X}H_{n}\right)}}={\overline {\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }H_{n}\right)}}}$$
• Jika setiap ${\displaystyle H_{n}}$ terbuka pada ${\displaystyle X}$, maka $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{n\,=\,1}{\overline {H_{n}}}\right)=\operatorname {int} _{X}{\overline {\left(\bigcap _{n\,=\,1}^{\infty }H_{n}\right)}}}$$

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

Eksterior dari suatu himpunan

Eksterior dari himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada ruang topologis ${\displaystyle X}$, ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}$ atau ${\displaystyle \operatorname {ext} H}$, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan ${\displaystyle H}$, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada ${\displaystyle X}$ yang saling asing dengan ${\displaystyle H}$. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup.[6] Secara simbolis, maka $${\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}$$

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka, $${\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}$$

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan ${\displaystyle H}$ bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka $${\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}$$ dengan ${\displaystyle \partial H}$ menyatakan batas dari ${\displaystyle H}$.[7] Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.

Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

1. Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$, maka ${\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}$.
2. Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}$.

Lihat juga

• Interior aljabar
• DE-9IM
• Aljabar interior
• Teorema kurva Jordan
• Interior kuasi-relatif

Referensi

1. "interior". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 26 November 2024. 
2. "interior point". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 26 November 2024. 
3. Solikhin (29 November 2023). Buku Ajar Topologi. Semarang: Undip Press. hlm. 82. ISBN 9786234172454. 
4. "exterior". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 26 November 2024. 
5. Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces [Analisis konveks pada ruang vektor umum] (dalam bahasa Inggris). River Edge, N.J. London: World Scientific. hlm. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112. 
6. Bourbaki 1989, hlm. 24.
7. Bourbaki 1989, hlm. 25.

1. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama mnemonicInteriorAndIntersection

Pranala luar

• (Inggris) Interior di PlanetMath.