Aljabar Akivis

Dalam matematika dan khususnya studi aljabar, aljabar Akivis adalah aljabar nonasosiatif yang dilengkapi dengan operator biner, komutator ${\displaystyle [x,y]}$ dan operator terner, asosiasi ${\displaystyle [x,y,z]}$ yang memenuhi hubungan tertentu yang dikenal sebagai identitas Akivis. Nama tersebut digunakan untuk menghormati matematikawan asal Rusia Maks A. Akivis.

Secara formal, jika ${\displaystyle A}$ adalah ruang vektor Medan atas ${\displaystyle \mathbb {F} }$ dari karakteristik nol, ${\displaystyle A}$ adalah aljabar Akivis jikalau operasi ${\displaystyle \left(x,y\right)\mapsto \left[x,y\right]}$ adalah bilinear dan antikomutatif; dan operator trilinear ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\mapsto \left[x,y,z\right]}$ memenuhi identitas Akivis:

${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\left[x,y,z\right]+\left[y,z,x\right]+\left[z,x,y\right]-\left[x,z,y\right]-\left[y,x,z\right]-\left[z,y,x\right].}$

Aljabar Akivis dengan ${\displaystyle \left[x,y,z\right]=0}$ adalah sebuah aljabar Lie, karena identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi. Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan memiliki tanda positif untuk permutasi genap dan tanda negatif untuk permutasi ganjil dari ${\displaystyle x,y,z}$.

Aljabar apa-pun (bahkan jika nonasosiatif) adalah aljabar Akivis kalau didefinisikan ${\displaystyle \left[x,y\right]=xy-yx}$ dan ${\displaystyle \left[x,y,z\right]=(xy)z-x(yz)}$. Diketahui bahwa semua aljabar Akivis direpresentasikan sebagai subaljabar dari aljabar (mungkin nonasosiatif) dengan cara ini (untuk aljabar asosiatif, pengasosiasinya identik dengan nol, dan identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi).

Referensi

• M. R. Bremner, I. R. Hentzel, and L. A. Peresi 2005. "Dimension formulas for the free nonassociative algebra". Communications in Algebra 33:4063-4081.