Sinc函数

在同一尺度上的归一化 sinc 函数（蓝色）与非归一化 sinc 函数（红色）

将 sinc 函数作为音频播放（2000 Hz)

sinc函数（英語：sinc function）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}$ 表示這種函數。 sinc函数可以被定義为归一化的或者非归一化的，不過兩種函數都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：

1. 在数字信号处理和通信理论中，人們把归一化sinc函数定义为

   對於所有x ≠ 0，${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

2. 在数学领域中，人們以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为

   對於所有x ≠ 0， ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

在这两种情况下，當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。

對於任何實數 a ≠ 0，${\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性

Re Sinc complex plot

Im Sinc complex plot

Abs Sinc complex plot

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

• 对于 ${\displaystyle k\neq 0\,}$ 与 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$（整数），${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,}$；也就是说，它是一个插值函数。
• 函数 ${\displaystyle x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ }$ 在函数空间 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 ${\displaystyle \omega _{\mathrm {H} }=\pi \,}$ ，也就是说最大的循环频率是 ${\displaystyle f_{\mathrm {H} }=1/2\,}$。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

• 非归一化 sinc 函数 ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$ 的导数是 0 ，即在 ${\displaystyle x=a\,}$ 有极值，那么 ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,}$ 。

• 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数${\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,}$。归一化 sinc 是 ${\displaystyle j_{0}(\pi x)\,}$。

• 非归一化 sinc 的过零点是 ${\displaystyle \pi \,}$ 的非零倍数；归一化 sinc 函数  ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}$   的过零点出现在非零整数。

• 归一化 sinc 函数  ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}$   的对于普通频率的连续傅里叶变换是  ${\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,}$。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)}$,

其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

• 积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1}$

是广义积分。因为：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,}$

所以它不是勒貝格積分。

• ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}}$

其中 ${\displaystyle \Gamma (x)}$ 是 Γ函数。

与狄拉克δ分布的关系

尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).}$

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的緊支撐平滑函数 ${\displaystyle \varphi (x)}$ 有

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),}$

在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。

参见

• 抗混叠
• Sinc滤波器
• 维塔克–山侬插值公式（英语：Whittaker–Shannon interpolation formula）
• 波尔文积分

参考文献

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Sinc Function. MathWorld.