葛侖斯坦環

在交換代數中，一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環（英文：Gorenstein ring）是對每個素理想的局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。

葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。

其它定義

對於局部環 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$，葛侖斯坦局部環的古典定義是：${\displaystyle R}$ 是科恩-麥考利環，而且存在 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 中的 ${\displaystyle R}$-正則序列，使之生成一個不可約理想。在 ${\displaystyle R}$ 為有限維諾特環時，下述性質等價：

• ${\displaystyle R}$ 的內射維度有限，記為 ${\displaystyle n}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，當 ${\displaystyle i\neq n}$ 時，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，當 ${\displaystyle i>n}$ 時，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，對某個 ${\displaystyle i>n}$ 有 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$。
• 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，當 ${\displaystyle i<n}$ 時，${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$，而且 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k}$。

此時 ${\displaystyle R}$ 是 ${\displaystyle n}$-維葛侖斯坦環。

非交換情形

若一個環（不一定交換）視為左 ${\displaystyle R}$-模及右 ${\displaystyle R}$-模的內射維度皆有限，則稱之為葛侖斯坦環。

例子

• 完全交環
• 正則局部環

文獻

• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6