胡尔维兹定理

在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。[1][2]对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯[3] ，发扬于胡尔维兹[4]，由佐恩整理为一般形式[5]。一个简短的历史摘要可见Badger[6]。

完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫[7]或者夏皮罗[8]处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同构于实数。否则，我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于凯莱数（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为A。

胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时[9]。

参考文献

引用

  1. ^ JA Nieto and LN Alejo-Armenta. Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis. Arxiv preprint hep-th/0005184. 2000 [2011-01-04]. （原始内容存档于2022-04-14）. 
  2. ^ Kevin McCrimmon. Hurwitz's theorem 2.6.2. A taste of Jordan algebras. Springer. 2004: 166. ISBN 0387954473. Only recently was it established that the only finite-dimensional real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic. 
  3. ^ Georg Frobenius. Über lineare Substitutionen und blineare Formen. J. Reine Angew. Math. 1878, 84: 1–63. 
  4. ^ Hurwitz, A. Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables). Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. 1898: 309–316. Template:JFM （德语）. 
  5. ^ Max Zorn. Theorie der alternativen Ringe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1930, 8: 123–147. 
  6. ^ Matthew Badger. Division algebras over the real numbers (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2011-06-07）. 
  7. ^ IL Kantor and AS Solodovnikov. Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.. Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras 2nd. Springer-Verlag. 1989: 121. ISBN 0387969802. 
  8. ^ Daniel B. Shapiro. Appendix to Chapter 1. Composition algebras. Compositions of quadratic forms. Walter de Gruyter. 2000: 21 ff. ISBN 311012629X. 
  9. ^ Joe Roberts. Square identities. Lure of the integers. Cambridge University Press. 1992. ISBN 088385502X. 

书籍

  • John H. Conway, Derek A. Smith On Quaternions and Octonions. A.K. Peters, 2003.
  • John Baez, The Octonions, AMS 2001.